Statická izotropní metrika je metrika , která definuje statické izotropní gravitační pole . Speciálním případem této metriky je Schwarzschildova metrika , pro případ prázdného (nic nenaplněného) časoprostoru [1] .
Slova statický a izotropní znamenají následující: vždy lze najít sadu souřadnic blízko souřadnic Minkowského , takže vlastní invariantní čas nezávisí na , ale závisí pouze na invariantech skupiny rotace: . Nejobecnější forma záznamu intervalu:
kde jsou neznámé funkce množství
Je výhodné nahradit sférickými polárními souřadnicemi :
Interval v tomto případě bude mít tvar:
,Můžeme nastavit naše hodiny, abychom určili novou časovou souřadnici
kde je libovolná funkce . To nám umožňuje eliminovat off-diagonální prvek nastavením
Potom je interval vyjádřen takto:
Můžeme předefinovat poloměr a tím uložit další podmínku funkcím , například takto . Pak dostaneme takzvaný standardní tvar pro statickou izotropní metriku:
kde
Po poslední transformaci má metrický tenzor následující nenulové složky:
Kde funkce i musí být určeny řešením rovnic pole. Protože se jedná o diagonální tenzor, je snadné zapsat nenulové složky tenzoru inverzně k němu:
Afinní spojení lze vypočítat pomocí obvyklého vzorce:
Jeho nenulové složky se ukáží jako stejné:
, , , , , , , , ,Vypočítáme také Ricciho tenzor. Je to dáno výrazem
Nahrazením dříve získaných komponent afinního spojení získáme:
, , , ,(Prvočíslo nyní znamená diferenciaci s ohledem na ). Kvůli neměnnosti metriky při rotacích jsou složky , , , , shodně rovné nule a . Rovnost na nulu je způsobena tím, že jsme nastavili naše hodiny tak, aby se metrika ukázala jako invariantní při obrácení času .