Hodgeova struktura

Váhová Hodgeova struktura nebo čistá Hodgeova struktura je objekt skládající se z mřížky v reálném vektorovém prostoru a rozkladu , kde , komplexního vektorového prostoru , který se nazývá Hodgeův rozklad . V tomto případě musí být splněna podmínka , kde je komplexní konjugát v . $n$ $H_{\mathbb{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q))$ $n=p+q$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}=H^{{q,\;p}}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

Jinak lze Hodgeův rozklad popsat pomocí konceptu klesající filtrace nebo Hodgeovy filtrace tak , že když . Poté jsou podprostory obnoveny vzorcem . $F^{r}=\bigoplus _{{p\geqslant r}}H^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb {C} }$ ${\bar F}^{s}\cap F^{r}=0$ $r+s\neq n$ $H^{{p,\;q}}$ $H^{{p,\;q}}={\bar F}^{p}\cap F^{q}$

Tuto strukturu v prostoru -dimenzionální cohomologie kompaktního Kählerova manifoldu poprvé studoval W. Hodge [1] . $n$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $X$

V tomto případě jsou podprostory popsány jako prostory harmonických forem typu nebo jako kohomologie svazků holomorfních diferenciálních forem [2] . $H^{{p,\;q}}$ $(p,\;q)$ $H^{q}(X,\;\Omega ^{p})$ $\Omega ^{p}$

Hodgeova filtrace vzniká filtrací snopového komplexu , jehož rozměrová hyperkohomologie je izomorfní subkomplexy formy . $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\Omega =\součet _{{p\geqslant 0}}\Omega ^{p}$ $n$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\sum _{{r\geqslant p}}\Omega ^{r}$

Smíšená Hodgeova struktura

Obecnějším pojmem je smíšená Hodgeova struktura - jedná se o objekt skládající se z mřížky v , zvyšující se filtraci , nebo filtrace závaží , v a snižující se filtraci (Hodgeova filtrace) tak , že na filtračním prostoru a určují čistou Hodgeovu strukturu závaží . $H_{\mathbb{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ $W_{n}$ $H_{\mathbb{Q} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{Q}$ $F^{p}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ $(W_{n}/W_{n+1})\otimes \mathbb {C}$ $F^{p}$ ${\bar F}^{p}$ $n$

P. Deligne ve své práci [ 3] považoval smíšené Hodgeovy struktury v cohomologii komplexní algebraické variety (ne nutně kompaktní nebo hladké ) za analogii struktury Galoisova modulu v etale cohomologii .

Hodgeovy struktury mají důležité aplikace v algebraické geometrii v teorii dobových zobrazení a v teorii singularit hladkých zobrazení [4] .

Poznámky

↑ Hodge WVD Tho teorie a aplikace harmonických integrálů. — 2 ed. - Cambridge, 1952.
↑ Griffiths, F., Harris, J. Principles of Algebraic Geometry / Per. z angličtiny. - M .: Mir, 1982. - T. 1. - 518 s.
↑ Deligne P. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, 1974). - 1975. - v. 1. - str. 70-85.
↑ Varchenko A. N. Moderní problémy matematiky. - díl 22. - M., 1983. - str. 66-130. - (Výsledky vědy a techniky).