Homotopie

Homotopie je rodina spojitých zobrazení , která spojitě závisí na parametru, přesněji spojité zobrazení . $F_{t}\dvojtečka X\to Y,\;t\in [0,1]$ $F\dvojtečka [0,1]\krát X\to Y$

Související definice

Zobrazení se nazývají homotopická ( ), pokud existuje homotopie taková, že a . $f,g\dvojtečka X\to Y$ $g\sim f$ $f_t$ $f_0=f$ $f_1=g$
- Toto definuje vztah ekvivalence mezi spojitými zobrazeními . $X\do Y$

Homotopická ekvivalence topologických prostorů a je dvojice spojitých zobrazení a taková, že a , zde označuje homotopii zobrazení. V tomto případě se také říká, že c má jeden typ homotopie . $X$ $Y$ $f\dvojtečka X\to Y$ $g\dvojtečka Y\to X$ $f\circ g\sim \operatorname {id}_{Y}$ $g\circ f\sim \operatorname {id}_{X}$ $\sim$ $X$ $Y$
- Jestliže a jsou
homeomorfní ( ), pak jsou homotopicky ekvivalentní; opak neplatí obecně. $X$ $Y$ $X\simeq Y$
Homotopický invariant je charakteristika prostoru, který je zachován pod homotopickou ekvivalencí topologických prostorů; to znamená, že pokud jsou dva prostory homotopicky ekvivalentní, pak mají stejnou charakteristiku. Například: spojitost , základní grupa , Eulerova charakteristika .

Jestliže na nějaké podmnožině pro všechny s , pak se to nazývá homotopie s ohledem na a homotopická s ohledem na . $A\podmnožina X,\;F(t,a)=f(a)$ $t$ $v A$ $F$ $A$ $F$ $G$ $A$

Zobrazení, které je homotopické ke konstantě, tedy zobrazení k bodu, se nazývá kontrahovatelné nebo homotopické na nulu .

Variace a zobecnění

Izotopie je homotopie topologického prostoru s ohledem na topologický prostor , ve kterém je pro všechny zobrazení homeomorfismus na . $X$ $Y$ $f_{t}\dvojtečka X\to Y,\;t\v [0,1]$ $t$ $f_t$ $X$ $f_{t}(X)\podmnožina Y$

Zobrazení se nazývá slabá homotopická ekvivalence , pokud vyvolává izomorfismus homotopických skupin . Podprostor topologického prostoru takový, že zahrnutí je slabá homotopická ekvivalence, se nazývá reprezentativní podprostor . $f\dvojtečka X\to Y$ $A$ $X$ $A\podmnožina X$

Jestliže a tam jsou libovolné svazky nad , pak se homotopie nazývá vláknitá, pokud jsou morfismy vláknité homotopické, pokud existuje vláknitá homotopie, pro kterou jsou rovnosti a morfismus vláknovou homotopickou ekvivalencí, pokud existuje morfismus takový, že a jsou vláknité homotopické Svazky a patří ke stejnému vláknitému homotopickému typu, pokud existuje alespoň jedna vrstevnatá ekvivalence $\varphi :E\to X$ $\varphi ':E'\to X$ $X,$ $f_{t}:E\to E'$ $\varphi 'f_{t}=\varphi .$ $f,g:E\to E'$ $f_{t}:E\to E',$ $f_{0}=f$ $f_{1}=g.$ $f:E\to E'$ $g:E'\to E$ $gf$ $fg$ $\mathrm {Id} .$ $E$ $E'$ $f:E\to E'.$

Viz také

Literatura

Vasiliev V. A. Úvod do topologie. - M. : FAZIS, 1997. - 132 s. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Počáteční kurz topologie. Geometrické hlavy. — M .: Nauka, 1977
Spanier E. Algebraická topologie. — M .: Mir, 1971