Aritmetická funkce

Aritmetická funkce je funkce definovaná na množině přirozených čísel a přebírající hodnoty z množiny komplexních čísel . $\mathbb {N}$ $\mathbb {C}$

Definice

Jak vyplývá z definice, aritmetická funkce je jakákoli funkce

f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}

Název aritmetická funkce je způsoben tím, že v teorii čísel existuje mnoho funkcí přirozeného argumentu , které vyjadřují určité aritmetické vlastnosti . Proto, neformálně řečeno, aritmetická funkce je chápána jako funkce , která „vyjadřuje nějakou aritmetickou vlastnost“ přirozeného čísla (viz příklady aritmetických funkcí níže ). $f(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

Mnoho aritmetických funkcí uvažovaných v teorii čísel je ve skutečnosti celočíselné.

Operace a související koncepty

Součet aritmetické funkce je funkce definovaná jako $F$ $F:[0,+\infty )\to \mathbb {C}$

F(x)=\sum _{n\leq x}f(n).

Tato operace je "nespojitý analog" neurčitého integrálu; v tomto případě, ačkoliv byla původní funkce definována až na , ukazuje se jako vhodné považovat její součet za definovaný na celé kladné poloose (a samozřejmě je po částech konstantní). $\mathbb {N}$

Dirichletova konvoluce dvou aritmetických funkcí f a g je aritmetická funkce h definovaná pravidlem

h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).

Aritmetická funkce f může být spojena s její "generující funkcí" - Dirichletovou řadou

\Phi _{f}(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.

V tomto případě odpovídá Dirichletova konvoluce dvou aritmetických funkcí součinu jejich generujících funkcí.

Bodové násobení logaritmem,

f\mapsto f',\quad f'(n)=f(n)\cdot \ln n,

je odvozením algebry aritmetických funkcí: s ohledem na konvoluci splňuje Leibnizovo pravidlo,

(f*g)'=f'*g+f*g'.

Přechod na generující funkci změní tuto operaci na běžnou diferenciaci.

Pozoruhodné aritmetické funkce

Počet dělitelů

Aritmetická funkce je definována jako počet kladných dělitelů přirozeného čísla : $\tau \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\tau (n)=\sum _{d|n}1

Jestliže a jsou coprime , pak každý dělitel součinu může být jednoznačně reprezentován jako součin dělitelů a dělitelů , a naopak, každý takový součin je dělitelem . Z toho vyplývá, že funkce je multiplikativní : $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $mn$ $\tau$

\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)

Pokud je kanonický rozklad přirozeného , pak kvůli multiplikativitě $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\tau (n)=\tau (p_{1}^{s_{1)))\tau (p_{2}^{s_{2)))\ldots \tau (p_{r}^{ s_{r)))

Protože kladné dělitele čísla jsou čísla , pak $p_{i}^{s_{i))$ $s_{i}+1$ $1,p_{i},\ldots ,p_{i}^{s_{i))$

\tau (n)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)\ldots (s_{r}+1)

Počet dělitelů velkého celého čísla n roste v průměru jako [1] . Přesněji viz Dirichletův vzorec . $\ln n$

Součet dělitelů

Funkce je definována jako součet dělitelů přirozeného čísla : $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\sigma (n)=\sum _{d|n}d

Zobecněním funkcí a pro libovolný, obecně řečeno komplex , lze určit - součet -tých mocnin kladných dělitelů přirozeného čísla : $\tau (n)$ $\sigma(n)$ $k$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k))

Pomocí Iversonovy notace lze psát

\sigma _{k}(n)=\sum _{d}d^{k}[\,d|n\,]

Funkce je multiplikativní: ${\displaystyle \sigma _{k))$

m\perp n\Rightarrow ~\sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)

Pokud je kanonický rozklad přirozeného , pak $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(s_{i}+1)k}-1}{p_ {i}^{k}-1}}

Součet dělitelů n roste v průměru jako lineární funkce cn, kde Eulerova konstanta c je [1] . $c=\zeta (2)=\pi ^{2}/6$

Eulerova funkce

Eulerova funkce nebo totient je definována jako počet kladných celých čísel nepřesahujících , coprime to . $\varphi (n)$ $n$ $n$

Pomocí Iversonovy notace lze psát:

\varphi (n)=\sum _{1\leq k\leq n}[k\perp n]

Eulerova funkce je multiplikativní:

m\perp n\Rightarrow ~\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)

V explicitní formě je hodnota Eulerovy funkce vyjádřena vzorcem:

\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\ vpravo)\tečky \left(1-{\frac {1}{p_{r))}\vpravo)

kde jsou různí hlavní dělitelé . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r))$ $n$

Möbiova funkce

Möbiovu funkci lze definovat jako aritmetickou funkci, která splňuje následující vztah: $\mu(n)$

\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases))

To znamená, že součet hodnot Möbiovy funkce přes všechny dělitele kladného celého čísla je roven nule if a je roven if . $n$ $n>1$ $jeden$ $n=1$

Lze ukázat, že pouze jedna funkce splňuje tuto rovnici a lze ji explicitně zadat následujícím vzorcem:

\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r},&n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}\\0,&p^{2}| n\\1,&n=1\end{cases}}

Zde jsou různá prvočísla a je to prvočíslo. Jinými slovy, Möbiova funkce je rovná , pokud není volná (to znamená, že je dělitelná druhou mocninou prvočísla), a rovná se jinak (plus nebo minus se volí v závislosti na paritě počtu prvočíselných dělitelů ). $p_{i}$ $p$ $\mu(n)$ $0$ $n$ $\pm 1$ $n$

Möbiova funkce je multiplikativní funkce . Důležitost Möbiovy funkce v teorii čísel je způsobena Möbiovou inverzní rovnicí .

Poznámky

↑ 1 2 V. a Arnold. Dynamika, statistika a projektivní geometrie Galoisových polí. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 s.

Viz také

Multiplikativní funkce

Literatura

Vinogradov I.M. Základy teorie čísel . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 s.
Nesterenko Yu. V. Teorie čísel: učebnice pro studenty. vyšší učebnice provozoven. - M . : Vydavatelské centrum "Akademie", 2008. - 272 s. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Chandrasekharan K. Úvod do analytické teorie čísel = Úvod do analytické teorie čísel. - M .: "Mir", 1974. - 188 s.