Kronecker-Cappelliho věta

Kronecker-Capelliho věta je kritériem pro kompatibilitu systému lineárních algebraických rovnic:

Systém lineárních algebraických rovnic je konzistentní tehdy a pouze tehdy, když je hodnost jeho hlavní matice rovna hodnosti jeho rozšířené matice.

Aby byl lineární systém kompatibilní , je nutné a postačující, aby hodnost rozšířené matice tohoto systému byla rovna hodnosti jeho hlavní matice . Prokázali Leopold Kronecker, Alfredo Capelli .

Vysvětlivky

Soustava rovnic je řešitelná právě tehdy, když , kde je rozšířená matice získaná z matice přiřazením sloupce [1] . $Ax=B$ $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} (A|B)$ $(A|B)$ $A$ $B$

Důkaz (podmínky kompatibility systému)

Nutnost

Ať je systém konzistentní. Pak jsou čísla taková, že . Sloupec je tedy lineární kombinací sloupců matice . Z toho, že hodnost matice se nemění, pokud je ze soustavy jejích řádků (sloupců) odstraněn řádek (sloupec) nebo je přiřazen řádek (sloupec), který je lineární kombinací dalších řádků (sloupců), z toho vyplývá . $x_{1},\tečky ,x_{n}\in {\mathbb R}$ $b=x_{1}a_{1}+\tečky +x_{n}a_{n}$ $b$ $a_1,\tečky,a_n$ $A$ $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B$

Dostatečnost

Nechte _ Vezměme si základní moll v matici . Protože pak bude také základem moll matice . Potom, podle základní vedlejší věty , bude poslední sloupec matice lineární kombinací základních sloupců, tedy sloupců matice . Sloupec volných členů soustavy je tedy lineární kombinací sloupců matice . $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B=r$ $A$ $\operatorname {rang} A|B=r$ $A|B$ $A|B$ $A$ $A$

Důsledky

Počet hlavních proměnných systému se rovná hodnosti systému.
Konzistentní systém bude definován (jeho řešení je jedinečné), pokud se hodnost systému rovná počtu všech jeho proměnných.

Viz také

Poznámky

↑ Problémy a věty lineární algebry, 1996 , str. 65.

Literatura

V. A. Ilyin, G. D. Kim Lineární algebra a analytická geometrie, Moskva: TK Velbi, Nakladatelství Prospekt, 2007, 400 stran.
Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .