Mongeova věta (jiný název je věta o třech hlavičkách) je věta o třech kruzích formulovaná Jean d'Alembertem a prokázáno Gaspardem Monge . Často se používá jako příklad věty, při jejímž důkazu je užitečné zvětšit rozměr prostoru.
Pro tři libovolné kružnice, z nichž každá neleží zcela uvnitř druhé, leží průsečíky společných vnějších tečen ke každé dvojici kružnic na stejné přímce .
Nejjednodušší důkaz používá trojrozměrnou analogii. [1] Nechť tři kruhy odpovídají třem koulím o různých poloměrech; kružnice odpovídají rovníkům, které vznikají z roviny procházející středy koulí. Mezi dvě roviny lze jednoznačně vmáčknout tři koule. Každá dvojice koulí definuje kužel, který se zvenčí dotýká obou koulí, a vrchol tohoto kužele odpovídá průsečíku dvou vnějších tečen, tedy vnějšímu středu podobnosti . Protože v každé rovině leží jedna přímka kužele, musí vrchol každého kužele ležet v obou rovinách a tedy někde na přímce průsečíku obou rovin. Proto jsou tři vnější středy homothety kolineární.
Důkaz lze konstruovat bez trojrozměrné analogie. V tomto případě můžeme uvažovat o složení tří stejnoměrností se středem v průsečíkech společných vnějších tečen ke každé dvojici kružnic, pod kterými každá z stejnoměrností přenese jednu kružnici do druhé. V tomto případě bude součin koeficientů těchto tří rovností roven 1 (protože koeficient každé z rovností bude roven poměru poloměru jednoho kruhu k poloměru druhého kruhu), tj. , složení tří takových homoteií bude paralelním překladem. Pokud ale vezmeme v úvahu jeden ze středů těchto tří kruhů, pak vidíme, že se při skládání homotetií promění v sebe, to znamená, že bude pevným bodem. Výsledkem je, že složení tří homoteií bude paralelní translace s pevným bodem, takže tato kompozice bude identickou transformací. A podle věty o třech středech stejnoměrnosti , pokud je složením tří stejnoměrností identickou transformací, pak jejich středy leží na stejné přímce. Proto průsečíky společných vnějších tečen ke každé dvojici kružnic leží na stejné přímce.