Picardova věta (integrální rovnice)

Picardova věta (integrální rovnice) - věta o existenci a jednoznačnosti řešení pro Fredholmovu integrální rovnici 1. druhu.

Integrální Fredholmova rovnice prvního druhu s uzavřeným symetrickým jádrem tvaru , kde má jedinečné řešení ve třídě funkcí právě tehdy, když řada konverguje. $K(t,s)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $f(t)\in L_{{2}}[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Vysvětlivky

Ve formulaci věty jsou charakteristická čísla jádra Fourierovy koeficienty funkce s ohledem na vlastní funkce tohoto jádra: . Symetrické jádro se nazývá uzavřené, pokud je každá funkce , která splňuje rovnost , rovna nule téměř všude na intervalu . Pro uzavřené jádro tvoří jeho vlastní funkce ortogonální kompletní systém funkcí. $\lambda _{{k}}$ $K(t,s)$ $f_{k}=(f,\phi _{{k}})$ $f(t)$ $\phi _{n}(t)$ $\phi _{{n}}(t)=\lambda _{{n}}\int \limits _{{a}}^{{b}}K(t,s)\phi _{{n}} (s)ds$ $K(t,s)$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sigma (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\sigma (s)ds=0$ $[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$

Důkaz

Předpokládejme, že existuje řešení rovnice . $\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$

Pojďme najít Fourierovy koeficienty funkce s ohledem na vlastní funkce tohoto jádra: . $f(t)$ $\phi _{n}(t)$ $f_{{n}}=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(t)\phi _{{n}}(t)dt=\int \limits _{{a}} ^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds\right\}\phi _{{n}}(t)dt =\int \limits _{{a}}^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t) dt\right\}\phi (s)ds={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s) \phi (s)ds$

Zde je ve druhé rovnosti použito, že vzhledem k podmínce věty , ve čtvrté rovnosti, která vzhledem k symetrii jádra, . $f(t)=\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t)dt={\frac {1}{\lambda _{n}}}\phi _{ {n}} (s)$

Rovnost lze přepsat jako . Z toho vyplývá, že čísla jsou Fourierovy koeficienty funkce . Na základě dobře známé věty matematické analýzy je řada čtverců těchto koeficientů konvergentní. $f_{{n}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s) ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ $\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Předpokládejme naopak, že řada konverguje. Pak na základě Riesz-Fisherovy věty existuje jedinečná funkce , pro kterou jsou čísla Fourierovými koeficienty vzhledem k systému funkcí , tedy rovnosti platí pro všechny . Tato funkce splňuje integrální rovnici , protože na základě samotné konstrukce funkcí má stejné Fourierovy koeficienty s ohledem na úplný systém vlastních funkcí jádra . Funkce a jsou tedy v metrice shodné . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$ $\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $n(n=1,2,...)$ $\phi (t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $\phi (t)$ $f(t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $K(t,s)$ $f(t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $L_{{2}}[a,b]$

Literatura

Krasnov M.L. Integrální rovnice, Moskva, Nauka, 1975.