Routhova věta

Routhův teorém definuje vztah mezi plochami daného trojúhelníku a trojúhelníku tvořeného třemi párově se protínajícími ceviany . Věta říká, že pokud v trojúhelníku body a leží na stranách , respektive , pak označují a , orientovanou oblast trojúhelníku tvořeného ceviany a vzhledem k ploše trojúhelník je vyjádřen vztahem $ABC$ $D$ $E$ $F$ $před naším letopočtem$ $CA$ $AB$ ${\tfrac {CD}{BD}}$ $=x$ ${\tfrac {AE}{CE}}$ ${\displaystyle=y}$ ${\tfrac {BF}{AF}}$ ${\displaystyle=z}$ $INZERÁT$ $BÝT$ $CF$ $ABC$

{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)))

Větu dokázal E. J. Rouse na straně 82 svého Pojednání o analytické statice s četnými příklady v roce 1896. V konkrétním případě je teorémem dobře známá věta o trojúhelníku o jedné sedmé ploše . V případě mediánu se protínají v těžišti . $x=y=z=2$ $x=y=z=1$

Důkaz

Nastavíme oblast trojúhelníku na . Pro trojúhelník a přímku pomocí Menelaovy věty dostaneme: $ABC$ $jeden$ $ABD$ $FRC$

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1

Pak je tedy plocha trojúhelníku ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ $ARC$

S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}= {\frac {x}{zx+x+1}}

Podobně dostaneme: a Oblast trojúhelníku je tedy: $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1))$ $PQR$

{\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB))

=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}

={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1))).

Odkazy

Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) "Tři další důkazy Routhova teorému", Crux Mathematicorum 7:199-203.
HSM Coxeter (1969) Úvod do geometrie, pp. 211, 219-220, 2. vydání, Wiley, New York.
JS Kline, D. Velleman. (1995) "Ještě další důkaz Routhova teorému" (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
Jay Warendorff. Routhův teorém The Wolfram Demonstrations Project .
Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Routhův teorém křížovými produkty - MathPages
Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routhův teorém revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.