Rayleighova věta o inflexním bodě

Rayleighův teorém je výrok v hydrodynamice , podle kterého pro planparalelní proudění pro rozvoj nestability je nezbytnou podmínkou přítomnost inflexního bodu v profilu proudění. Větu získal Rayleigh v aproximaci ideální tekutiny.

Hlavní tvrzení teorému zjevně odporuje experimentálním faktům. Zejména je v Poiseuilleově proudění realizován parabolický rychlostní profil, který nemá inflexní body, avšak nestabilita takového proudění je také možná .

Důkaz

Uvažování poruch stacionárního planparalelního (v souřadnicích ) proudění viskózní tekutiny za předpokladu, že mají tvar , v lineární aproximaci vede k Orr-Sommerfeldově rovnici . Zanedbání viskozity ( ) dává Rayleighovu rovnici: $(x,z)$ $f(z){\text{e}}^{ikx}$ ${\text{Re}}\rightarrow \infty$

\left(\lambda +ikU\right)\nabla ^{2}w-ikwU''=0,

\nabla ^{2}={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}-k^{2},

kde jsou amplituda, komplexní rychlost růstu a vlnové číslo poruchy; je rychlostní profil rovinně paralelního proudění; je Laplaceův operátor pro normální poruchy. Oproti původní rovnici čtvrtého řádu je zde pořadí úlohy redukováno na druhé, což vyžaduje úpravu okrajových podmínek. U kanálu s pevnými stěnami je podmínka neklouzavosti samozřejmě nahrazena podmínkou nepropustnosti: $w,\lambda =\sigma +i\omega ,k$ $U=U(z)$ $\nabla ^{2}$

w\vert _{z=0,h}=0

Rovnici vydělíme , vynásobíme komplexně konjugovanou amplitudou poruchy a integrujeme přes šířku kanálu: $\left(\lambda +ikU\right)$ ${\displaystyle w^{\ast ))$

\int \limits _{0}^{h}w^{\ast }\nabla ^{2}wdz=ik\int \limits _{0}^{h}{\frac {U''\ vert w\vert ^{2}}{\left(\lambda +ikU\right)}}dz.

Transformace levé strany (s přihlédnutím k okrajovým podmínkám pro Rayleighovu rovnici)

{\begin{aligned}&\int w^{\ast }\nabla ^{2}wdz=\int w^{\ast }w''dz-k^{2}\int \vert w\ vert ^{2}dz=\\&=w^{\ast }w'\vert _{0}^{h}-\int \vert w'\vert ^{2}dz-k^{2}\ int \vert w\vert ^{2}dz=-\int \vert w'\vert ^{2}dz-k^{2}\int \vert w\vert ^{2}dz.\end{aligned} }

ukazuje, že jde o znakově určitý a skutečný výraz. Vpravo tedy musí být imaginární část výrazu rovna nule. Pojďme to vybrat:

{\begin{aligned}&ik\int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\left(\lambda +ikU\right)))dz=ik\int {\frac {U''\left(\lambda ^{\ast }-ikU\right)\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz=\\&= ik\lambda ^{\ast }\int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz+k^{2}\ int {\frac {U''U\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz.\end{aligned}}

Vezmeme-li v úvahu , dostaneme: $\lambda =\sigma +i\omega$

k\sigma \int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz=0.

Zde jsou dvě možnosti. Za prvé, , odpovídající neutrálním poruchám. To však nenese žádnou informaci o stabilitě, protože amplituda takové poruchy se s časem nemění. Proto předpokládáme, že integrál je roven nule. V integrandu jsou však všechny hodnoty kromě , kladné. Rovnost vyžaduje změnu znaménka uvnitř kanálu, proto existuje alespoň jeden inflexní bod, kde . $\sigma =0$ $U''$ $U''$ $U''=0$

Použitelnost

Je zřejmé, že Rayleighův teorém není vždy pravdivý. Za prvé, vliv viskózního členu může být významný i při vysokých Reynoldsových číslech, kvůli velké hodnotě čtvrté derivace.

Tvrzení věty je však velmi obecné. Experimentální a numerické studie ukazují, že i když je nestabilita možná i bez inflexního bodu, absolutně stabilní toky s inflexními body nebyly nalezeny.

Viz také

Literatura

Lin Chia Chiao . Teorie hydrodynamické stability. Moskva: Zahraniční literatura, 1958.