Fenchelova věta o otáčení křivky
Fenchelova věta říká, že variace rotace žádné uzavřené křivky není menší a rovnosti je dosaženo pouze v případě konvexní rovinné křivky. Zejména střední zakřivení uzavřené délkové křivky nemůže být menší než .
Větu dokázal Werner Fenchel . [jeden]
O důkazu
Obvykle je důkaz založen na tvrzení, že kulová křivka délky je menší, než leží v otevřené polokouli. Toto tvrzení lze dokázat například aplikací Croftonova vzorce , ale jsou známy i elementárnější důkazy.
Zbývá poznamenat, že křivka tvořená jednotkovými tečnými vektory (tečnou indikatrix) k původní křivce nemůže ležet v otevřené polokouli. To znamená, že její délka není menší než , ale délka této křivky se shoduje s integrálem křivosti.
Variace a zobecnění
- Reshetnyakovo lemma tětivy Jestliže se pravidelná hladká čára přibližuje k její tětivě pod úhly a , pak je rotace křivky nejméně .
- Toto tvrzení snadno vyplývá z Fenchelovy věty, ale často je pohodlnější jej použít. Například samotná Fenchelova věta následuje, aplikujeme-li lemma na rozdělení uzavřené křivky na dva oblouky.
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3949e127cdd1af020b06369df1a0b89d588f0fdf)
![{\displaystyle [\gamma (a),\gamma (b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b7afbeb3807195be2201db0a4646c4506d8d04)
Poznámky
- ↑ W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven (odkaz není k dispozici) , Mathematische Annalen 101: 238-252.
Literatura
- Toponogov, V. A. Diferenciální geometrie křivek a ploch . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .