Vogtův teorém

Vogtův teorém zakládá vztahy mezi hraničními úhly rovinné křivky s monotónně se měnícím zakřivením ( spiral arc ) jako funkce rostoucí/klesající křivosti.

Pojmenováno po německém matematikovi Wolfgangu Vogtovi ( Wolfgang Wilhelm Vogt , 1883-1916).

Znění W. Vogta

V původním článku [1] (Satz 12) je věta uvedena takto:

Nechť a být dva po sobě jdoucí průsečíky křivky s monotónním zakřivením a přímkou a jsou úhly mezi tětivou a tečnými paprsky v bodech a ležících na stejné straně jako oblouk . Potom je úhel větší než, menší nebo roven podle toho, zda se zakřivení zvětšuje od do , zmenšuje se nebo zůstává konstantní. $A$ $B$ $G$ $\alpha$ $\beta$ $AB$ $A$ $B$ $G$ ${\overset {\frown }{AB}}$ $\alpha$ $\beta$ $A$ $B$

V článku [1] (stejně jako v monografii [2] , Věta 3-17) jsou uvažovány pouze konvexní křivky [3] se spojitým zakřivením . Požadavek na konvexnost znamená, že zakřivení má konstantní znaménko (nepřítomnost inflexního bodu na křivce). Ve skutečnosti v této formulaci mluvíme o absolutních hodnotách zakřivení a úhlů . Další důkazy této věty za stejných předpokladů jsou uvedeny v článcích [4] , [5] , [6] . $k(s)$ $|k(s)|$ $|\alpha |,\,|\beta |$

Větu ilustruje levý sloupec na obrázku 1.

Upravené tvrzení věty

Upravená verze Vogtovy věty (viz [7] , věta 1)

považuje úhly a za orientované, měřené vzhledem ke směru tětivy ; $\alpha$ $\beta$ $\overrightarrow {AB}$
je formulován s přihlédnutím k přirozenému znaku křivosti (ve smyslu kde je úhel sklonu tečny ke křivce); $k(s)={\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} s)),$ $\tau(s)$
nevyžaduje kontinuitu a stálost zakřivení;
se vztahuje nejen na konvexní spirálové oblouky, ale také na všechny krátké spirály - takové, které se nekroutí kolem koncových bodů, to znamená, že neprotínají doplněk tětivy do nekonečné čáry (ačkoli mohou protínat samotný tětiv, jako např. křivka na obr. 1). $A_{6}B_{6}$

Formulace:

Nechť je zakřivení krátké spirály v počátečním bodě , buď její zakřivení v koncovém bodě . Pak $k_{1}$ ${\overset {\frown }{AB}}$ $A$ $k_{2}$ $B$

\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta ),\qquad \qquad (1)

nebo konkrétněji pro případy rostoucího a klesajícího zakřivení,

{\begin{array}{llcc}{\text{if}}\quad k_{1}<k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta >0,\quad &- \pi <\alpha \leq \pi ,\;&-\pi <\beta \leq \pi ;\\{\text{if}}\quad k_{1}>k_{2}{:}\quad & \alpha {+}\beta <0,\quad &-\pi \leq \alpha <\pi ,\;&-\pi \leq \beta <\pi .\end{array}}\qquad \qquad (2 )

Pravý sloupec obrázku 1 ilustruje upravenou verzi Vogtovy věty (pro případ klesajícího zakřivení). Například křivky na Obr. 1 jsou stejné a mají záporné klesající zakřivení: . Vogtovy nerovnosti znamenají , že při zohlednění znaků křivosti a orientovaných úhlů znamená nebo v souladu s (1). $A_{1}B_{1}$ ${\displaystyle A_{4}B_{4))$ ${\displaystyle 0>k_{1}>k_{2))$ $k_{1}<k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha >\beta ,$ $|k_{1}|<|k_{2}|\;\Šipka doprava \;|\alpha |>|\beta |,$ ${-k_{1}}<{-k_{2}}\;\Rightarrow \;\alpha >{-\beta },$ $k_{1}>k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha +\beta <0,$

Odrazem křivek 4-7 symetricky vzhledem k tětivě (což znamená změnu znamének y ), získáme příklady s rostoucí křivostí. $k_{1},k_{2},\alpha ,\beta$

Geometrický význam součtu $\alpha +\beta$

Necháme bod pohybovat se po krátké spirále od do Pro každou polohu pohyblivého bodu sestrojíme kruhový oblouk (obr. 2). Úhel sklonu tečny k tomuto oblouku v bodě je označen . ${\overset {\frown }{AB}}$ $A$ $b.$ $P$ ${\overset {\frown }{APB}}$ $A$ $\varphi (s)$

Funkce je přísně monotónní; $\varphi (s)$ $\lim \limits _{P\to A}\varphi (s)=\alpha ,$ $\lim \limits _{P\to B}\varphi (s)=-\beta .$
Zametání oblouků ${\overset {\frown }{APB}}$ čočka - oblast ohraničená dvěma kruhovými oblouky založenými na tětivě , z nichž jeden má v bodě společnou tečnu se spirálou , druhý v bodě $AB$ $A$ $b.$
Jakákoli krátká spirála s hraničními úhly a je uzavřena uvnitř čočky (Věta 2 v [7] ). $\alpha$ $\beta$
Součet se v absolutní hodnotě rovná úhlové šířce čočky a jeho znaménko odpovídá zvětšení /zmenšení zakřivení. $\sigma =\alpha +\beta$ ${\displaystyle {}^{(+)))$ ${\displaystyle {}^{(-)))$

Zobecnění věty

Další zobecnění Vogtovy věty se týká libovolně zkroucených spirál, pro které jsou úhly předefinovány v kumulativním smyslu jako „úhly, které si pamatují svou historii“. $\alpha ,\,\beta$

Uvažujme na spirále délky bod pohybující se z do . Pro dostatečně malý ( krátký ) oblouk jsou hodnoty hraničních úhlů a měřené vzhledem ke směru pohybující se tětivy blízké nule, a když se od nich bod vzdaluje , mohou dosáhnout hodnot ${\overset {\frown }{AB}}$ $S$ $P$ $A=P(0)$ $B=P(S)$ ${\overset {\frown }{AP}}(s)$ $\alpha (s)$ $\beta (s)$ ${\overrightarrow {AP}}(s),$ $P$ $A$ $\pm \pi .$ $\alpha (s)$ $\beta (s)$ $\pi.$

{\widetilde {\alpha }}=\alpha (S),\quad {\widetilde {\beta }}=\beta (S).

Takže na Obr. 3 úhel dosáhne hodnoty , když bod dosáhne polohy , po které . $\beta (s)$ $+\pi$ $P$ $P_8$ $\beta (s)>\pi$

Článek [8] (Věta 1) ukazuje, že součet je monotónní funkcí délky oblouku, rostoucí nebo klesající jako křivost . Funkce je přísně monotónní s výjimkou počátečního úseku konstantního zakřivení (pokud existuje), ve kterém se formulace (1) tak rozšiřuje do dlouhých spirál ve tvaru $\sigma (s)=\alpha (s)+\beta (s)$ $k(s)$ $\sigma (s)$ $\sigma (s)\equiv 0.$

\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).

Související prohlášení [8] :

V lineárním zlomkovém zobrazení spirály je hodnota zachována. $\sigma$
Kolísání rotace šroubovice je omezeno nerovnostmi a zůstává v těchto mezích, když je šroubovice obrácená. $|\sigma |<\mathrm {Var} \,\tau (s)<|\sigma |+2\pi$

Inverzní věta

A. Ostrovsky jako výrok konverzující k Vogtově větě formuluje podmínky, které umožňují existenci (konvexního) spirálového oblouku s danými hraničními úhly [6] . V „orientované“ verzi mají podobu nerovností (2).

V [2] (věta 3-18) jsou formulovány zesílené podmínky pro případ, kdy jsou kromě úhlů uvedeny i hodnoty hraničních poloměrů křivosti.

V [7] (Věta 3) jsou tyto podmínky rozšířeny na krátké (nejen konvexní) spirály: Pro existenci krátké spirály jiné než bideg , s hraničními úhly a zakřiveními je nutné a postačující splnit podmínky ( 2) a nerovnost , kde ${\overset {\frown }{AB)),$ $\alpha ,\;\beta$ ${\displaystyle k_{1},\;k_{2))$ $Q<0$

Q=(k_{1}c+\sin \alpha )(k_{2}c-\sin \beta )+\sin ^{2}{\frac {\alpha {+}\beta }{2} },\quad c={\frac {1}{2}}|AB|\,.\qquad \qquad (3)

Pokud je spirála bidug , pak $Q=0\,.$

Vysvětlení a ukázka stavby

Dovolit a být hraniční kružnice zakřivení spirály oblouk , být jejich průsečík úhel. Pak nerovnost znamená, že úhel je čistě imaginární. To lze zase interpretovat následovně: kružnice a nemají společné body a jsou umístěny tak, že při přiblížení bude jejich průsečíku předcházet dotyk - shoda orientovaných tečen ve společném bodě. ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$ $AB$ $\psi$ $Q=\sin ^{2}{\frac {\psi }{2)),$ $Q<0$ $\psi$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$

Nerovnice platí pro libovolný pár zelených kroužků na obr. 4. Libovolným výběrem počátečního bodu na jednom z nich a koncového bodu na druhém můžete vytvořit spirálový oblouk, pro který budou kružnice hraničními kružnicemi křivosti. Příklad takové konstrukce je znázorněn na fragmentu obrázku 4 tečkovanou čarou ( ). $Q<0$ $A$ $B$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$ $Q=-0,88$ $|AB|=2c=2,$ $\alpha \approx -78,34^{\circ },$ $k_{1}\cca 1,73,$ $\beta \approx -38,34^{\circ },$ $k_{2}\cca -2,76$

Jakékoli dva modré kruhy jsou tečné a pro ně Pro body a vybrané na fragmentu je jediným možným spirálovým obloukem bidug (znázorněný tečkami) a shoduje se s kruhy a . $Q=0\;(\psi =0).$ $Q=0$ $A$ $B$ $AB$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$

Pro jakýkoli pár protínajících se (hnědých) kružnic není možné postavit spirálu s takovými kružnicemi. Je to také nemožné pro dvojice červených kruhů : buď mají ( , "protidotyk") nebo $Q=1$ $\psi =\pm\pi$ $Q>1.$

Hodnota (3) nezávisí na volbě bodů a kružnic a může být vyjádřena například jejich zakřivením a vzdáleností od středu ke středu : $Q$ $A$ $B$ $L$

k_{1}k_{2}\neq 0\quad \Longrightarrow \quad Q={\frac {(k_{1}k_{2}L)^{2}-(k_{2}{-} k_{1})^{2}}{4k_{1}k_{2}}}.

Problém konstrukce spirálového oblouku s danými okrajovými podmínkami na koncích je v posledních desetiletích aktivně diskutován v CAD aplikacích (viz např. články [9] a [10] ).

Odkazy a poznámky

↑ 1 2 Vogt W. Über monotongekrümmte Kurven // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1914. - Č. 144 . - S. 239-248 .
↑ 1 2 Guggenheimer HW Diferenciální geometrie. - New York: Dover Publications, 1977. - S. 48. - ISBN 0-486-63433-7 .
↑ ... tedy takový, že oblouk a jeho tětiva tvoří konvexní obrazec .
↑ Katsuura S. Ein neuer Beweis des Vogtschen Satzes // Tohoku Mathematical Journal . - 1940. - T. 47 . - S. 94-95 .
↑ Hirano K. Jednoduché důkazy Vogtovy věty // Tohoku Mathematical Journal . - 1940. - T. 47 . - S. 126-128 .
↑ 1 2 Ostrowski A. Über die Verbindbarkeit von Linien- und Krümmungselementen dürch monoton gekrümmte Kurvebogen // Enseignement Math., Ser.2. - 1956. - č. 2 . - S. 277-292 .
↑ 1 2 3 Kurnosenko A.I. Krátké spirálky // Zápisky z vědeckých seminářů POMI. - 2009. - S. 34-43 . [jeden]
↑ 1 2 Kurnosenko A.I. Dlouhé spirály // Poznámky z vědeckých seminářů POMI. - 2009. - S. 44-52 . [2]
↑ Goodman TNT, Meek DS, Walton DJ Evolventní spirála, která odpovídá datům G2 Hermite v rovině // Computer Aided Geometric Design. - 2009. - Sv. 26 , č. 7 . - str. 733-756 . - doi : 10.1016/j.cagd.2009.03.009 . Archivováno z originálu 5. září 2019.
↑ Kurnosenko AI Dvoubodová interpolace G2 Hermite se spirálami inverzí hyperboly // Computer Aided Geometric Design. - 2010. - Sv. 27 , č. 6 . - str. 474-481 . - doi : 10.1016/j.cagd.2010.03.001 . Archivováno z originálu 5. září 2019.

Viz také

Spirála: definice založené na monotónnosti zakřivení .
Biduga .