Hermitova-Bielerova věta

Hermitova-Bielerova věta je vyjádřením komplexní analýzy , která určuje nutné a dostatečné podmínky pro stabilitu polynomu . Je to speciální případ Čebotarevovy věty .

Formulace

Polynom je stabilní právě tehdy, když kořeny polynomů a jsou proložené a alespoň pro jeden . Pro polynom s reálnými koeficienty je tato nerovnost ekvivalentní nerovnosti . $F$ $G$ $h$ $\omega_{0}$ $g(\omega _{0})h^{'}(\omega _{0})-g^{'}(\omega _{0})h(\omega _{0})>0$ $F$ $a_{n-1}a_{n}>0$

Vysvětlivky

Zde polynom at , čísla jsou libovolná komplexní čísla . Polynom se nazývá stabilní, pokud jsou reálné části všech jeho kořenů záporné. Funkce a jsou definovány následovně. Dosazením do polynomu místo čistě imaginárního čísla dostaneme komplexní číslo . Kořeny polynomů a s reálnými koeficienty se střídají, pokud oba polynomy mají pouze reálné a jednoduché kořeny a mezi libovolnými dvěma sousedními kořeny jednoho polynomu je jeden a pouze jeden kořen druhého polynomu. ${\displaystyle f=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_{n))$ $a_{0}>0$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},...a_{n))$ $F$ $G$ $h$ $F$ $z$ $i\omega$ $f(i\omega )=g(\omega )+ih(\omega )$ $G$ $h$

Literatura

Postnikov M. M. Stabilní polynomy, M., Nauka, 1981, 176 stran.