Alexandrovova věta o monotónnosti

Aleksandrovova věta o monotónnosti je věta o konvexních mnohostěnech , kterou dokázal A. D. Aleksandrov v roce 1937 [1] , [2] , [3] .

Formulace

Přímý

Pokud je mezi plochami dvou uzavřených konvexních mnohostěnů v trojrozměrném euklidovském prostoru vytvořena korespondence jedna ku jedné tak, že (i) normály jednotek k odpovídajícím plochám se shodují a (ii) žádná z ploch nemůže být umístěna dovnitř paralelním posunem odpovídající plochy, pak se mnohostěny získají z jiné paralelním přenosem (a zejména jsou shodné ).

Prostřednictvím monotónních funkcí

Funkce se nazývá monotónní polygonová funkce , pokud má vlastnost: , pokud ji lze umístit dovnitř . $f(Q)$ $Q$ $f(Q_{1})>f(Q_{2})$ $Q_{2}$ $Q_1$

Nechť a být uzavřeny konvexní polytopy v trojrozměrném euklidovském prostoru s plochami resp . a pro všechny jsou splněny následující podmínky: (i) jednotka normály k plochám a shodují se a (ii) existuje monotónní funkce taková, že . Pak jsou polytopy a získány jeden od druhého paralelním překladem (a zejména jsou shodné ). $P_1$ $P_2$ $Q_{1}^{1},\tečky ,Q_{1}^{n}$ $Q_{2}^{1},\tečky ,Q_{2}^{n}$ $k=1,\tečky,n$ $Q_{1}^{k}$ $Q_{2}^{k}$ $f_{k}$ $f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})$ $P_1$ $P_2$

Poznámky

Pro trojrozměrný prostor Aleksandrovův konvexní teorém mnohostěnu zobecňuje Minkowského větu o jedinečnosti a uvádí, že "dva stejné mnohostěny s párově rovnoběžnými a rovnoběžnými plochami jsou stejné a rovnoběžné." Zde skutečně postačí vzít plochu jako monotónní funkci mnohoúhelníku. $f(Q)$
Tvrzení vyplývající z Aleksandrovovy věty o konvexních mnohostěnech, vezmeme-li obvod jako monotónní funkci mnohoúhelníku v něm, je zajímavé tím, že geometrům se více než 70 let nepodařilo najít odpovídající existenční teorém. $f(Q)$
V euklidovském prostoru dimenze 2 je tvrzení analogické s Aleksandrovovou větou o konvexním mnohostěnu pravdivé, ale triviální .
V euklidovském prostoru dimenze 4 (a ve všech vyšších dimenzích) neplatí tvrzení podobné Aleksandrovově větě o konvexním mnohostěnu . Jako protipříklad si můžeme vzít čtyřrozměrnou krychli s hranou 2 a čtyřrozměrnou obdélníkovou krabici s hranami 1, 1, 3, 3.
Pro rovnost vícerozměrných konvexních mnohostěnů, když jejich rovnoběžné dvourozměrné plochy nelze vložit, viz [4] .

Viz také

Alexandrovova věta o rozvinutí mnohostěnu

Poznámky

↑ A.D. Aleksandrov , Elementární důkaz Minkowského teorému a některých dalších teorémů o konvexních mnohostěnech , Izvestija AN SSSR. Ser. rohož. 1 , č. 4, 597-606 (1937).
↑ A.D. Aleksandrov , Konvexní mnohostěny . M.; L.: GITTL, 1950.
↑ L.A. Lyusternik , konvexní postavy a mnohostěny . M.: GITTL, 1956.
↑ A.I. Medyanik, Jedno zobecnění teorému o jedinečnosti od A.D. Aleksandrov pro uzavřené konvexní mnohostěny v případě -rozměrného prostoru $n$ , Ukr. geom. So. 8 , 91-94 (1970).