Věta o vepsané kružnici

Věta o vepsané kružnici pochází z japonského sangaku a odkazuje na následující konstrukci: řada paprsků je vedena od bodu k dané přímce tak, že kružnice vepsané do výsledných trojúhelníků tvořených sousedními paprsky a přímkou jsou stejné. Na obrázku definují stejné modré kruhy úhel mezi paprsky, jak je popsáno výše.

Prohlášení věty

Věta říká, že s výše popsanou konstrukcí jsou si rovny i kružnice vepsané do trojúhelníků tvořených paprsky skrz jeden (tj. získaný spojením dvou sousedních trojúhelníků), přes dva atd. Případ sousedních trojúhelníků je na obrázku znázorněn zelenými kroužky: všechny mají stejné rozměry.

Ze skutečnosti, že tvrzení věty nezávisí na úhlu mezi počátečním paprskem a danou přímkou, lze usuzovat, že věta je více o počtu než o geometrii a měla by se vztahovat k funkci spojitého měřítka, která určuje vzdálenost mezi paprsky. Ve skutečnosti je tato funkce hyperbolický sinus .

Lemma

Věta je přímým důsledkem následujícího lemmatu .

Předpokládejme, že n-tý paprsek má úhel k normále pro základní čáru. Pokud jsou parametrizovány podle rovnosti , pak hodnoty , kde a jsou reálné konstanty, definují posloupnost paprsků, které splňují podmínky v kruhu (viz výše), a navíc jakoukoli sekvenci paprsků, které splňují tyto podmínky, lze získat pomocí vhodnou volbou parametrů a . $\gamma_n$ $\gamma_n$ ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n))$ $\theta _{n}=a+nb$ $A$ $b$ $A$ $b$

Důkaz lemmatu

Na obrázku jsou čáry PS a PT sousední paprsky mající úhly as přímkou PR kolmou k základní čáře RT. $\gamma_n$ $\gamma _{n+1}$

Středem O kružnice vepsané do trojúhelníku PST nakreslete čáru QY rovnoběžnou se základní čarou. Tato kružnice je tečnou k paprskům v bodech W a Z. Segment PQ má délku a segment QR má délku , která se rovná poloměru kružnice vepsané. $\trojúhelník$ $hr$ $r$

Potom je OWX podobné PQX, OZY je podobné PQY a z XY = XO + OY dostaneme $\trojúhelník$ $\trojúhelník$ $\trojúhelník$ $\trojúhelník$

(hr)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\ sek\gama _{n+1}).

Tento poměr na množině úhlů vyjadřuje podmínku rovnosti vepsaných kružnic. ${\displaystyle \{\gamma _{m}\))$

Abychom lemma dokázali, nastavili jsme . Tento výraz lze převést na . $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)$ $\sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)$

Pomocí rovnosti aplikujeme další pravidla pro a a kontrolujeme , že vztah rovnosti kružnic je splněn výrazem $a+(n+1)b=(a+nb)+b$ $\mathrm {sh} \,$ $\mathrm {ch} \,$

{\frac {r}{hr}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.

Získali jsme výraz pro parametr z hlediska geometrických veličin a . Dále, definováním získáme výraz pro poloměry vepsaných kružnic vytvořených výběrem každého N -tého paprsku jako strany trojúhelníku: $b$ $h$ $r$ $b$ $r_{N}$

{\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.

Viz také

Literatura

Tabov J. Poznámka k větě o pěti kruzích // Magazín o matematice. - 1989. - T. 63. - č. 2. - S. 92-94.