Věta o permutaci řad

Věta o permutaci řad :

Přeuspořádání absolutně konvergentní řady vede ke konvergentní řadě se stejným součtem .

Důkaz

Dále , kde je permutace přirozené řady. $m_{k}=\varphi (k)$ $\varphi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$

Pokud je série pozitivní, pak $\součet a_{k}$

\sum _{k=1}^{n}a_{m_{k}}

\leqslant \sum _{{k=1}}^{N}a_{k},

kde a proto $N=\max \left\{m_{1},m_{2},...,m_{n}\right\},$

\sum _{k=1}^{\infty }a_{m_{k))

\leqslant \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}.

Permutace řady tedy nezvyšuje součty, a protože řada je zase permutací řady , jsou oba součty stejné. Pokud je řada znaménko- střídání, pak na základě první části důkazu $\součet a_{k}$ $\sum a_{m_{k))$
$\součet a_{k}$

\sum _{k=1}^{\infty }a_{m_{k))

=\sum _{k=1}^{\infty }b_{m_{k))

-\sum _{k=1}^{\infty }c_{m_{k))

=\sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k}-\součet _{{k=1}}^{\infty }c_{k}=\součet _{{k=1} }^{\infty }a_{k}.

Viz také

Riemannův teorém o podmíněně konvergentních řadách je opačný výsledek pro podmíněně konvergentní řady .

Literatura

Yu S. Bogdanov — Přednášky o matematické analýze — Část 2 — Minsk — Nakladatelství BSU. V. I. Lenin - 1978.