Věta o rozřezání čtverce na trojúhelníky o stejné ploše

Věta o rozřezání čtverce na trojúhelníky o stejné ploše říká, že čtverec nelze rozřezat na lichý počet trojúhelníků o stejné ploše [1] .

Věta je známá svým neočekávaným důkazem pomocí 2-adické normy .

Historie

Problém byl položen Fred Richman v American Mathematical Monthly v roce 1965 a vyřešen Paul Monsky v roce 1970 [2] .

O důkazu

Pomocí 2-adických čísel je sestrojeno určité tříbarevné zbarvení bodů jednotkového čtverce.

Hlavní vlastnosti barvení jsou následující:

1. Plochu jakéhokoli trojúhelníku s vrcholy různých barev nelze vyjádřit jako zlomek s lichým čitatelem a jmenovatelem.
   • Konkrétně, pokud by existovalo rozdělení čtverce na lichý počet stejně velkých trojúhelníků, pak by žádný z trojúhelníků neměl vrcholy všech tří barev.
2. Jakákoli přímka je namalována přesně dvěma barvami.

Tato a některé další vlastnosti tohoto zbarvení vedou k rozporu se Spernerovým lemmatem .

Variace a zobecnění

• -Rozměrnou krychli lze rozdělit na simplexy o stejném objemu pouze tehdy, je-li počet simpliců násobkem [3] [4] .
• Důkaz věty také implikuje existenci čtyřúhelníků, které nelze rozřezat na trojúhelníky o stejné ploše.
• Pro celé číslo lze pravidelný -gon rozřezat na trojúhelníky o stejné ploše právě tehdy, když je dělitelný [5] .
• Žádný zonogon nelze rozřezat na lichý počet trojúhelníků o stejné ploše . Tuto skutečnost dokázal tentýž Paul Monsky po hlavní větě [6] [7] .

Poznámky

1. ↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler. Jeden čtverec a lichý počet trojúhelníků // Důkazy z knihy . — 4. - Berlín, 2010. - S.  131-138 . - ISBN 978-3-642-00856-6 . - doi : 10.1007/978-3-642-00856-6_20 .
2. ↑ P. Monsky. O rozdělení čtverce na trojúhelníky  //  The American Mathematical Monthly  : journal. - 1970. - Sv. 77 , č. 2 . - S. 161-164 . - doi : 10.2307/2317329 . MR : 0252233 _
3. ↑ Mead, David G. (září 1979), Dissection of the hypercube into simplexes , Proceedings of the American Mathematical Society vol. 76: 302–304 , DOI 10.1090/S0002-9939-1979-0537093 
4. ↑ Spernerovo lemma archivováno 19. dubna 2016 na Wayback Machine , Moor Xu
5. ↑ EA Kasimatis, Disekce pravidelných mnohoúhelníků na trojúhelníky o stejné ploše, Discrete & Computational Geometry, srpen 1989, svazek 4, vydání 4, str. 375-381
6. ↑ Monsky, Paul (1990), Steinova domněnka o rovinných disekcích , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264 
7. ↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry , sv. 25, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press, s. 130 , ISBN 9780883850282 

Literatura

• B. Becker, S. Vostokov, Yu Ionin. 2-adická čísla  // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .