Toponogov srovnávací teorém

Toponogovův srovnávací teorém je klasickým teorémem Riemannovy geometrie obecně.

Ve dvourozměrném případě větu dokázal Paolo Pizzetti [1] . Jeho dílo zůstalo bez povšimnutí celé století. [2] Větu nezávisle vyvrátil Aleksandr Danilovič Aleksandrov [3] a zobecnil Viktor Andrejevič Toponogov [4] do vyšších dimenzí.

Požadované definice

K formulaci věty potřebujeme několik definic. Dovolit být kompletní Riemannian různý nejméně 2 rozměr a se sekčním zakřivením ne menší než nějaká konstanta . $M$ $\kappa$

Označíme modelovou rovinou křivosti . V , toto je euklidovská rovina, v , je izometrické k povrchu koule o poloměru , a v , je rovina Lobachevského zakřivení . ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$ $\kappa=0$ $\kappa >0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tfrac 1{{\sqrt {\kappa ))))$ $\kappa<0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$

Trojúhelník v je trojice nejkratších cest spojujících tři body ve dvojicích. V tomto případě se každý ze tří bodů nazývá vrchol trojúhelníku a úhel mezi dvojicí nejkratších bodů vycházejících z vrcholu se nazývá úhel v tomto vrcholu. $M$

Nechť je v . Předpokládejme, že existuje trojúhelník se stejnými odpovídajícími stranami a navíc je takový trojúhelník jedinečný až do shody. V tomto případě se trojúhelník nazývá modelový trojúhelník trojúhelníku v . $\trojúhelník$ $M$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ $\trojúhelník$ $M$

Všimněte si, že modelový trojúhelník je vždy definován, pokud . V případě , to platí , pokud je obvod přísně menší než . ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ $\kappa \leq 0$ $\kappa >0$ $\trojúhelník$ $2\cdot \pi /{\sqrt {\kappa ))$

Nechť v je modelový trojúhelník v . Definujme úhel modelu jako úhlovou míru . $\trojuhelník {\tilda x}{\tilda y}{\tilda z}$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\trojúhelník xyz$ $M$ ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xyz$ $\measuredangle {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$

Formulace

Teorém. Dovolit být kompletní Riemannian různý as sekčním zakřivením ne menší než nějaká konstanta . Potom úhly jakéhokoli trojúhelníku v M nejsou menší než odpovídající úhly jeho modelového trojúhelníku . Jinými slovy $M$ $\kappa$ $\trojúhelník$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$

{\tilde \measureangle }_{\kappa }xyz\leq \measuredangle xyz

pro jakýkoli trojúhelník . $\trojúhelník xyz$

Důsledky

Předpokládejme, že se jedná o úplnou Riemannovu varietu s nezáporným průřezovým zakřivením. Pak pro jakýkoli bod je funkce 2-konkávní; to je, pro nějakou normální geodesic , funkce je konkávní. $M$ $p\in M$ $f(x)=|px|_{M}^{2}$ $\gamma$ $t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^{2}$

Variace a zobecnění

Platí také obrácená věta, to znamená, že pokud srovnání úhlů platí pro jakýkoli trojúhelník v Riemannově varietě, pak má zakřivení alespoň . $M$ $M$ $\kappa$

Pro každý bod x na straně trojúhelníku označte odpovídající bod na straně . Pak je tvrzení věty ekvivalentní následující nerovnosti $\trojúhelník$ ${\tilda x}$ ${\tilda \trojúhelník }\kappa$ $|{\tilde x}-{\tilde y}|_{({\mathbb M}_{\kappa ))}\leq |xy|_{M}$

kde označuje vzdálenost mezi body a v Riemannově varietě .

|xy|_{M}

X

y

M

Tvrzení věty je ekvivalentní následující nerovnosti ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xpy+{\tilde \measureangle }_{\kappa }ypz+{\tilde \measureangle }_{\kappa }zpx\leq 2\cdot \pi$

za libovolné čtyři body

p,x,y,z\v M

Viz také

Rauchova srovnávací věta

Literatura

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemannovská geometrie obecně, Mir, 1971, str. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Úvod do Riemannovy geometrie. - Petrohrad: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .

Odkazy

↑ Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16(1), 1907, 6.–11.
↑ Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: zapomenutý původce srovnávací geometrie trojúhelníků. Historia Math. 38 (2011), čís. 3, 415-422.
↑ A.D. Aleksandrov, Vnitřní geometrie konvexních ploch, Moskva-Leningrad, Gostekhizdat, 1948.
↑ V. A. Toponogov, Riemannovské prostory křivosti ohraničené zdola Uspekhi Mat. Nauk, 14:1(85) (1959), 87–130