Lifshitzova teorie

Lifshitzova teorie je obecná teorie fluktuačních sil van der Waals a Casimir . Hlavním výsledkem teorie je vzorec pro volnou energii elektromagnetického pole, který umožňuje získat tlak vznikající mezi povrchy materiálů v důsledku působení fluktuačních sil. V Lifshitzově teorii je médium klasické a elektromagnetické pole je kvantové . Teorii vyvinul sovětský fyzik Jevgenij Michajlovič Lifshitz v roce 1956.

Lifshitzův vzorec

Vzorec pro energii při nulové teplotě

Energie jako funkce vzdálenosti mezi dvěma identickými planparalelními deskami:

E(a)={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _{ 0}^{\infty }d\xi \left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]+ \ln[1-r_{\textrm {TE}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]\right\}

(jeden)

kde . Zde je projekce vlnového vektoru elektromagnetického pole na rovinu povrchu desky, je imaginární frekvence, je rychlost světla , je redukovaná Planckova konstanta . Vlastnosti materiálu se zohledňují prostřednictvím koeficientů odrazu - a . Koeficienty odrazu jsou dány Fresnelovými vzorci : ${\displaystyle q^{2}=q^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi ^{2}/c^{2))$ $k_{\perp }$ $\xi$ $C$ $\hbar$ $r_{\textrm {TE))$ $r_{\textrm {TM}}$

r_{\textrm {TM}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })-k(i \xi ,k_{\perp })}{\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi,k_{\perp })))),\quad r_ { \textrm {TE}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {q(i\xi ,k_{\perp })-k(i\xi ,k_{\perp })}{ q (i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp ))))),

(2)

kde . $k^{2}=k^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\epsilon (i\xi )\xi ^{2}/ c^{2}$

Vzorec pro tlak při nulové teplotě

Tlak jako funkce vzdálenosti mezi dvěma stejnými planparalelními deskami:

P(a)=-{\frac {\hbar }{2\pi ^{2))}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _ {0}^{\infty }d\xi \;q\left\{[r_{\textrm {TM}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1 ]^{-1}+[r_{\textrm {TE}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1]^{-1}\right\}

(3)

Použitý zápis je popsán výše.

Vzorec pro volnou energii při libovolné teplotě

Volná energie jako funkce teploty a vzdálenosti mezi dvěma různými planparalelními deskami:

{\mathcal {F}}(a,T)={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\ !{\text{ }}^{'}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^ {(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e ^{-2aq_{l}}]+\ln[1-r_{\textrm {TE}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE }}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e^{-2aq_{l}}]\right\}

(čtyři)

zde prvočíslo na znaménku součtu označuje násobitel na nultém členu řady, index 1 a 2 na koeficientech odrazu označují první a druhou desku, v tomto pořadí, jsou Boltzmannova konstanta , a jsou Matsubarovy frekvence, které jsou dány výrazem $1/2$ ${\displaystyle k_{\mathrm {B} ))$ $q_{l}^{2}=q^{2}(i\xi _{l},k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi _{l}^ {2}/c^{2}$ $\xi _{l}$

\xi _{l}=2\pi {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\hbar }}l

(5)

Vzorec pro tlak při libovolné teplotě

Tlak jako funkce teploty a vzdálenosti mezi dvěma různými planparalelními deskami:

P(a,T)=-{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\!{\text{ } }^{'}\int _{0}^{\infty }q_{l}k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\left[{\frac {e^{2aq_{l))} {r_{\textrm {TM}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{ l},k_{\perp })}}-1\right]^{-1}+\left[{\frac {e^{2aq_{l}}}{r_{\textrm {TE}}^{( 1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp }}))) - 1\vpravo]^{-1}\vpravo\}

(6)

Použitý zápis je popsán výše.

Poznámky

Viz také

Literatura

M. Bordag, G. L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V. M. Mostepanenko. Pokroky v Casimirově efektu. — 2009.