Testovací funkce pro optimalizaci

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. března 2021; kontroly vyžadují 14 úprav .

V aplikované matematice jsou testovací funkce známé jako umělé krajiny užitečné pro hodnocení výkonu optimalizačních algoritmů, jako jsou:

míra konvergence.
Přesnost.
robustnost .
Celkový výkon.

Tento článek představuje některé testovací funkce, abyste získali představu o různých situacích, kterým musíte čelit při překonávání takových problémů.

Článek představuje obecný vzorec rovnice, místo účelové funkce, hranice proměnných a souřadnice globálního minima.

Testovací funkce pro jeden cíl optimalizace

název	Vzorec	Globální minimum	Metoda vyhledávání
Rastrigin funkce	$f(\mathbf {x} )=An+\součet _{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\ že jo]$ ${\text{kde: }}A=10$	$f(0,\tečky ,0)=0$	$-5.12\leq x_{i}\leq 5.12$
Funkce Ackley	$f(x,y)=-20\exp \left[-0.2{\sqrt {0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)))\right]$ $-\exp \left[0.5\left(\cos(2\pi x)+\cos(2\pi y)\right)\right]+e+20$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Funkce koule	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$	$f(x_{1},\tečky ,x_{n})=f(0,\tečky ,0)=0$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Rosenbrockova funkce	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2} \right)^{2}+\left(x_{i}-1\right)^{2}\right]$	${\text{Min))={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1) =0,\\n>3&\šipka doprava \quad f(\pod závorkou {1,\tečky ,1} _{n{\text{ times}}})=0\\\end{cases}}$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Bealova funkce	$f(x,y)=\left(1,5-x+xy\right)^{2}+\left(2,25-x+xy^{2}\right)^{2}$ $+\left(2,625-x+xy^{3}\right)^{2}$	$f(3,0.5)=0$	$-4.5\leq x,y\leq 4.5$
Funkce Goldstein-Price	$f(x,y)=\left[1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{ 2}\vpravo)\vpravo]$ $\left[30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right]$	$f(0,-1)=3$	$-2\leq x,y\leq 2$
Funkce stánku	${\displaystyle f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2))$	$f(1,3)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funkce Bukin N 6	$f(x,y)=100{\sqrt {\left\|y-0.01x^{2}\right\|}}+0.01\left\|x+10\right\|.\quad$	$f(-10,1)=0$	$-15\leq x\leq -5$ , $-3\leq y\leq 3$
Matyášova funkce	$f(x,y)=0,26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0,48xy$	$f(0,0)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funkce odvodu N 13	$f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right )$ $+\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\right)$	$f(1,1)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
funkce Himmelblau	$f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\ left(-3,779310,-3,283186\right)&=0,0\\f\left(3,584428,-1,848126\right)&=0,0\\\end{cases}}$	$-5\leq x,y\leq 5$
Funkce velblouda tříhrbého	$f(x,y)=2x^{2}-1,05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Funkce Isom	$f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{ 2}+\left(y-\pi \right)^{2}\right)\right)$	$f(\pi ,\pi )=-1$	$-100\leq x,y\leq 100$
Funkce "kříž na podnos". (Funkce cross-in-tray)	$f(x,y)=-0,0001\left[\left\|\sin x\sin y\exp \left(\left\|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{ 2}}}{\pi }}\vpravo\|\vpravo)\vpravo\|+1\vpravo]^{0.1}$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\ f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funkce stojánku na vejce (funkce držáku vajec)	$f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left\|{\frac {x}{2))+\left(y+47\right)\ vpravo\|}}-x\sin {\sqrt {\left\|x-\left(y+47\right)\right\|}}$	$f(512,404.2319)=-959.6407$	$-512\leq x,y\leq 512$
Funkce držáku tabulek	$f(x,y)=-\left\|\sin x\cos y\exp \left(\left\|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2))} {\pi ))\vpravo\|\vpravo)\vpravo\|$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\ f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
McCormick funkce	$f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(xy\right)^{2}-1,5x+2,5y+1$	$f(-0,54719,-1,54719)=-1,9133$	$-1,5\leq x\leq 4$ , $-3\leq y\leq 4$
Funkce Shaffer N2	$f(x,y)=0,5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0,5}{\left[1+0,001\ vlevo(x^{2}+y^{2}\vpravo)\vpravo]^{2}}}$	$f(0,0)=0$	$-100\leq x,y\leq 100$
Funkce Shaffer N4	${\displaystyle f(x,y)=0,5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left\|x^{2}-y^{2}\right\|\right) \right]-0,5}{\left[1+0,001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2))))$	$f(0.1.25313)=0.292579$	$-100\leq x,y\leq 100$
Stybinského-Tangova funkce	$f({\boldsymbol {x)))={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{ i}}{2}}$	$-39.16617n<f(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{n{\text{ times}}})<-39.16616n$	$-5\leq x_{i}\leq 5$ .. _ $1\leq i\leq n$

Testovací funkce pro podmíněnou optimalizaci

název	Vzorec	Globální minimum	Metoda vyhledávání
rosenbrocková funkce, omezená na kubickou a přímou [1]	${\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2))$ , podroben: $(x-1)^{3}-y+1<0{\text{ a }}x+y-2<0$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1,5\leq x\leq 1,5$ , $-0,5\leq y\leq 2,5$
Rosenbrockova funkce omezená diskem [2]	${\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2))$ , podroben: $x^{2}+y^{2}<2$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1,5\leq x\leq 1,5$ , $-1,5\leq y\leq 1,5$
Ohraničená funkce Mishra-Bird [3] [4]	$f(x,y)=\sin(y)e^{\left[(1-\cos x)^{2}\right]}+\cos(x)e^{\left[(1 -\sin y)^{2}\right]}+(xy)^{2}$ , podroben: $(x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25$	$f(-3,1302468,-1,5821422)=-106,7645367$	$-10\leq x\leq 0$ , $-6,5\leq y\leq 0$
Upravená funkce Townsend [5]	$f(x,y)=-[\cos((x-0,1)y)]^{2}-x\sin(3x+y)$ , podrobeno: kde: t = Atan2(x,y) $x^{2}+y^{2}<\left[2\cos t-{\frac {1}{2}}\cos 2t-{\frac {1}{4}}\cos 3t -{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}$	$f(2.0052938,1.1944509)=-2.0239884$	$-2,25\leq x\leq 2,5$ , $-2,5\leq y\leq 1,75$
Simonescova funkce [6]	$f(x,y)=0,1xy$ , podroben: $x^{2}+y^{2}\leq \left[r_{T}+r_{S}\cos \left(n\arctan {\frac {x}{y}}\right)\ vpravo]^{2}$ ${\text{kde: }}r_{T}=1,r_{S}=0,2{\text{ a }}n=8$	$f(\pm 0,85586214,\mp 0,85586214)=-0,072625$	$-1,25\leq x,y\leq 1,25$

Testovací funkce pro multicílovou optimalizaci

Název / Obrázek	Vzorec	Minimální	Oblast hledání
Funkce Bean a Korn	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\ left(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+y^{2 }\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)&=\left(x-8\right)^{2}+\leq(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\end{cases}}$	$0\leq x\leq 5$ , $0\leq y\leq 3$
Funkce Chakong a Haimes	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=2+\left(x-2\right)^{2}+\left (y-1\vpravo)^{2}\\f_{2}\left(x,y\vpravo)&=9x-\left(y-1\vpravo)^{2}\\\konec{případů} }$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{ 2}\left(x,y\right)&=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}$	$-20\leq x,y\leq 20$
Fonseca a Flemingova funkce	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i= 1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n))}\right)^{2}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}} }\right)^{2}\right)\\\end{cases}}$		$-4\leq x_{i}\leq 4$ , $1\leq i\leq n$
testovací funkce 4	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}-y\\f_{2}\left(x, y\right)&=-0,5xy-1\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\ \g_{2}\left(x,y\right)&=7,5-0,5xy\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)&=30-5x-y\geq 0\\ \end{cases}}$	$-7\leq x,y\leq 4$
Kurzivní funkce	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{2}\left [-10\exp \left(-0,2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}\right)\right]\\&\\f_{2} \left({\boldsymbol {x}}\right)&=\součet _{i=1}^{3}\left[\left\|x_{i}\right\|^{0.8}+5\sin \left (x_{i}^{3}\right)\right]\\\end{cases}}$		$-5\leq x_{i}\leq 5$ , . $1\leq i\leq 3$
Schafferova funkce N. 1	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)&= \left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}$		$-A\leq x\leq A$ . Hodnoty formuláře , které byly úspěšně použity. Vyšší hodnoty zvyšují obtížnost problému. $A$ $deset$ $10^{5}$ $A$
Schafferova funkce N.2	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\ text{if }}x>4\\\end{cases}\\f_{2}\left(x\right)&=\left(x-5\right)^{2}\\\end{cases }}$		$-5\leq x\leq 10$ .
Objektivní funkce Poloni2	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\ vlevo(x,y\vpravo)\vpravo)^{2}+\vlevo(A_{2}-B_{2}\vlevo(x,y\vpravo)\vpravo)^{2}\vpravo]\\f_ {2}\left(x,y\right)&=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}$ ${\text{where}}={\begin{cases}A_{1}&=0,5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left( 2\right)-1.5\cos \left(2\right)\\A_{2}&=1.5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left( 2\right)-0.5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)&=0.5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x \right)+\sin \left(y\right)-1.5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)&=1.5\sin \left(x\right) )-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{cases}}$		$-\pi \leq x,y\leq \pi$
Funkce Zister-Dieb-Teri N. 1	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\součet _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))}\\ \end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Funkce Zister-Dieb-Teri N. 2	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\součet _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))\right) ^{2}\\\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Funkce Zister-Dieb-Terin N. 3	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\součet _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))}-\ vlevo({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))\right)\sin \left(10 \pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Funkce Zister-Dieb-TeriN. čtyři	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_ {i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right) ,g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\ vlevo({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{cases}}$		$0\leq x_{1}\leq 1$ .. _ $-5\leq x_{i}\leq 5$ $2\leq i\leq 10$
Funkce Zister-Dieb-Teri N. 6	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-4x_{1}\right )\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x }}\vpravo)h\vlevo(f_{1}\vlevo({\boldsymbol {x}}\vpravo),g\vlevo ({\boldsymbol {x}}\vpravo)\vpravo)\\g\left( {\boldsymbol {x}}\right)&=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\right]^{0,25} \\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-\left({\ frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases }}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 10$
Funkce Winnet	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=0.5\left(x^{2}+y^{2}\right) +\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)&={\frac {\left(3x-2y+4\ vpravo)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y \right)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1,1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\ vpravo)\vpravo)\\\end{cases}}$		$-3\leq x,y\leq 3$ .
Funkce Osyzki a Kundu	$F_{1}(x)=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}$ $-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right) ^{2}$ ${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=F_{1}(x)\\f_{2}\ vlevo({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}+x_{2}-2\geq 0 \\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x} }\right)&=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=2-x_{1}+3x_{ 2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\ geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\ end{cases}}$	$0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10$ , , . $1\leq x_{3},x_{5}\leq 5$ $0\leq x_{4}\leq 6$
Funkce CTP1 (2 proměnné)	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= \left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)} {0,858\exp \left(-0,541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.728\exp \left(-0.295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases} }$	$0\leq x,y\leq 1$ .
Problém Constr-Ex	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= {\frac {1+y}{x}}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=y+9x\geq 6\\g_{1}\left(x,y \right)&=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}$	$0.1\leq x\leq 1$ , $0\leq y\leq 5$

Viz také

Literatura

Panteleev A. V., Metlitskaya D. V., E. A. Aleshina Metody globální optimalizace. Metaheuristické strategie a algoritmy // M.: Vuzovskaya kniga. 2013. 244 s. ISBN 978-5-9502-0743-3
Sergienko AB Testovací funkce pro globální optimalizaci.

Odkazy

Testování vícerozměrných optimalizačních algoritmů

Poznámky

↑ Simionescu, PA (29. září–2. října 2002). Nové koncepty v grafické vizualizaci objektivních funkcí (PDF) . ASME 2002 Mezinárodní technické konference konstrukčního inženýrství a konference Počítače a informace v inženýrství. Montreal, Kanada. str. 891-897. Archivováno (PDF) z originálu dne 2017-01-08 . Staženo 7. ledna 2017 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
↑ Řešte omezený nelineární problém - MATLAB & Simulink . www.mathworks.com . Získáno 29. srpna 2017. Archivováno z originálu 29. srpna 2017. (neurčitý)
↑ Problém s ptáky (omezený) | Phoenix Integration (nedostupný odkaz) . wayback.archive.org . Získáno 29. srpna 2017. Archivováno z originálu 29. prosince 2016. (neurčitý)
↑ Mishra, Sudhanshu. Některé nové testovací funkce pro globální optimalizaci a výkon metody odpudivého rojení částic (anglicky) // MPRA Paper : journal. - 2006. Archivováno 4. listopadu 2018.
↑ Townsend, Alex Omezená optimalizace v Chebfunu . chebfun.org (leden 2014). Získáno 29. srpna 2017. Archivováno z originálu 29. srpna 2017. (neurčitý)
↑ Simionescu , PA Počítačem podporované grafické a simulační nástroje pro uživatele AutoCADu . — 1. — Boca Raton, FL: CRC Press , 2014. — ISBN 978-1-4822-5290-3 .