Tomahawk (geometrie)

Tomahawk  je nástroj v geometrii pro trisekci úhlu , jehož úkolem je rozdělit úhel na tři stejné části. Figura se skládá z půlkruhu a dvou segmentů a navenek připomíná tomahawk , sekeru indiánů [1] [2] . Stejnému nástroji se někdy říkalo ševcovský nůž [3] , ale tento název se již hojně používá pro jinou figuru, arbelos (trojúhelník s půlkruhovými stranami) [4] .

Popis

Hlavní postava tomahawku se skládá z půlkruhu („čepel“ tomahawku), s pokračováním průměru segmentem rovným poloměru půlkruhu („bod“ tomahawku) a dalším segmentem libovolné délky. („rukojeť“ tomahawku) kolmo k průměru. Chcete-li změnit postavu na fyzický nástroj, jsou rukojeť a hrot vyrobeny s nenulovou tloušťkou, ale segmenty čáry musí zůstat hranicemi obrázku. Na rozdíl od trisekce pomocí tesařského čtyřhranu , protilehlá strana rukojeti nemusí být segmentem rovnoběžným s pracovní stranou [1] .

Některé zdroje uvádějí spíše celý kruh než půlkruh [5] , nebo se bok tomahawku také rozšiřuje podél průměru [6] , ale tyto úpravy nemají vliv na činnost nástroje.

Třísekce

Při použití tomahavku k rozřezání rohu je tomahawk umístěn tak, že rukojeť spočívá na horní části rohu, čepel (půlkruh) se dotýká jedné strany rohu (uvnitř) a špička tomahawku leží na druhé straně. straně rohu. Jedna z čar trisekce pak bude procházet podél rukojeti, druhá čára středem půlkruhu [1] [6] . Pokud je úhel, který má být rozříznut, příliš ostrý vzhledem k délce rukojeti tomahavku, nelze úhel tímto postupem rozdělit, ale toto omezení lze obejít zdvojnásobením úhlu, dokud nebude možná konstrukce, a následným dělením úhlu tolikrát, kolikrát nutné na polovinu [2] .

Pokud je horní část rohu označena písmenem A , bod dotyku čepele s písmenem B , střed půlkruhu s písmenem C , základna rukojeti písmenem D a horní část čepele hrot s písmenem E , pak trojúhelníky ACD a ADE jsou pravoúhlé trojúhelníky se společnou výškou a stejnými nohami u základny. Proto jsou tyto trojúhelníky shodné . Protože strany AB a BC trojúhelníku ABC jsou tečnou úsečkou a poloměrem půlkruhu, jsou tyto strany rovny AD a DC . Trojúhelník ACD se tedy rovná trojúhelníkům ACB a AED , což ukazuje, že úhly ve vrcholu úhlu A jsou [5] [6] .

Ačkoli samotný tomahawk lze sestavit pomocí kružítka a pravítka [7] a lze jej použít k trisekci úhlu, není to v rozporu s teorémem Pierra Wanzela z roku 1837 , že libovolný úhel nelze rozdělit na tři části pouze pomocí kružítka a pravítka . [8] . Důvodem je, že umístění postaveného tomahawku do správné polohy je druh nevsis , což není povoleno v konstrukci kompasu a pravítka [9] .

Historie

Kdo vynalezl tomahawk, není známo [1] [10] , ale nejstarší zmínka pochází z Francie z 19. století. Odkazy lze vysledovat až do roku 1835, kdy se tomahawk objevil v Claude Lucien Bergerie Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers [1] . Stejnou konstrukci publikoval Henri Brocard v roce 1877 [11] . Brocard zase připsal vynález konstrukce francouzskému námořnímu důstojníkovi Pierre-Joseph Gloten [12] [13] [14] .

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Yates, 1941 , str. 278–293.
  2. ↑ 1 2 Gardner, 1975 , str. 262–263.
  3. ↑ Dudley, 1996 , str. 14–16.
  4. ↑ Alsina, Nelsen, 2010 , str. 147–148.
  5. ↑ 1 2 Meserve, 1982 , str. 244.
  6. ↑ 1 2 3 Isaacs, 2009 , str. 209–210.
  7. ↑ Eves, 1995 , str. 191.
  8. ↑ Wantzel, 1837 , str. 366–372.
  9. ↑ Slovo „neusys“ popsali La Nave a Mazur ( La Nave, Mazur 2002 ) ve smyslu „rodina konstrukcí v závislosti na jednom parametru“. U těchto konstrukcí při změně parametru dochází v konstrukci k některým kombinatorickým změnám. La Neve a Mazur popisují trisekci odlišnou od použití tomahawku, ale zde platí stejný popis - rukojeť tomahawku je umístěna na horní části rohu, parametrizace se provádí polohou horní části špičky tomahawku. tomahawk na paprsku, což dává řadu konstrukcí, ve kterých se mění vzájemná poloha ostří a jeho paprsku, dokud není hrot umístěn na správném místě.
  10. ↑ Aaboe, 1997 , str. 87.
  11. ↑ Brocard, 1877 , str. 43–47.
  12. ↑ Glotin, 1863 , str. 253–278.
  13. ↑ Martin, 1998 .
  14. ↑ Dudley ( 1996 ) chybně hláskoval i tato jména jako Bricard a Glatin.

Literatura

Odkazy