Přesně řešitelný problém

V současné době neexistuje jednotná definice přesně řešitelného problému pro všechna odvětví matematiky. Je to dáno zvláštnostmi samotných problémů a metodami hledání jejich řešení. Přitom základní věty, které určují existenci a jednoznačnost řešení, vycházejí z obecných principů, které budou ukázány níže.

Algebraické rovnice

Řešení rovnice s neznámou znamená najít hodnoty ( kořeny rovnice), nuly funkce , které splňují tuto rovnici [1] .

Hodnoty neznámé , které splňují rovnici, to znamená, že když se místo toho dosadí, změní rovnici na identitu, se nazývají kořeny rovnice a také odpovídající polynom. [2] .

V souladu s tím, Řešením nějaké sady (systému) rovnic

s neznámými se nazývá množina hodnot neznámých , které současně splňují každou rovnici systému. Systém rovnic je zcela vyřešen, pokud jsou všechna taková řešení nalezena. [3] .

Řešení je přibližné, pokud při dosazování do algebraické rovnice (systému rovnic) bude rozdíl mezi hodnotou pravé a levé strany rovnice pod dovolenou chybou řešení.

Diferenciální (Integro-diferenciální) rovnice

V diferenciálních a integro-diferenciálních rovnicích má každá rovnice nekonečný počet numerických řešení, a proto je otázkou možnost popsat množinu všech numerických řešení dané diferenciální rovnice [4] .

Řešení ( integrace ) diferenciální rovnice spočívá v nalezení funkcí ( řešení , integrálů ) v určitém konečném nebo nekonečném intervalu . Všimněte si, že řešení lze zkontrolovat dosazením do rovnice [5] .

Integraci systému diferenciálních rovnic lze často redukovat na integraci jedné obyčejné diferenciální rovnice řádu n postupným odstraněním ( n  - 1) proměnných a jejich derivací nebo nahrazením vyšších derivací pomocnými neznámými funkcemi [6] .

Řešení je přibližné, pokud v celém integračním intervalu při dosazení řešení do diferenciální rovnice (systému rovnic) bude rozdíl mezi hodnotou pravé a levé části rovnice pod dovolenou chybou řešení. .

Matematická statistika

Schémata kritérií s pevným vzorkem a sekvenční kritéria jsou speciální případy rozhodovacích funkcí nebo pravidel chování spojených s přijetím hypotézy (rozhodnutí) pro každý vzorek nějakého pozorovaného znaku [7] .

Kritéria pro zdůvodnění rozhodnutí

Hledání řešení algebraických i diferenciálních rovnic je založeno na větách o existenci řešení a jejich jednoznačnosti.

Věty o existenci

Aby byla formulace počátečního nebo okrajového problému správná, je nutný důkaz o existenci řešení, někdy s uvedením způsobu jeho konstrukce. Existence fyzikálního jevu popsaného danou diferenciální rovnicí může existenci řešení pouze naznačovat, nikoli však dokazovat; důkaz existence ověřuje nezávislost matematického modelu [8] .

Pro algebraické rovnice jsou existenční teorémy založeny na řadě teorémů. Zejména na Abel-Ruffiniho teorém o nemožnosti získat řešení v radikálech pro jakoukoli mocninnou rovnici nad pátou; o větě o korespondenci počtu kořenů stupně algebraické rovnice; na Routh-Hurwitzových kritériích stability , Sturmově teorému , které určují, zda řešení mají zápornou reálnou část atd.

Pro soustavu rovnic se používá Cramerovo pravidlo ; podmínka pro netriviální řešení homogenních lineárních rovnic s nulovou pravou stranou, která spočívá v zániku hlavního determinantu soustavy; podmínka lineární nezávislosti rovnic, která spočívá v rovnosti počtu neznámých k počtu rovnic soustavy; podmínky pro přítomnost řešení jako důsledek rovnosti řad matice a rozšířené matice systému atd. [9] .

Pro diferenciální rovnice jsou existenční teorémy postaveny na Cauchyho metodě , která spočívá v nalezení řešení ve formě řady a prokázání konvergence této řady pro diferenciální rovnice za poměrně širokých předpokladů o pravé straně; na metodu Picardovy aproximace [10] , metodu komprimovaného obrazu [11] atd.

Věty o jednoznačnosti pro řešení

Tato třída teorémů určuje jednoznačnost a úplnost řešení jak algebraických, tak integro-diferenciálních rovnic. Konkrétně pro diferenciální rovnice je geometrická interpretace vět následující: každým bodem oblasti D prochází jedna integrální křivka. Pro systém algebraických rovnic teorém o jednoznačnosti říká, že systém n rovnic nemůže mít více než n řešení. V analytické geometrii teorém o jednoznačnosti určuje jednoznačnost rozšíření vektoru z hlediska báze a také nezávislost vektorů báze (úplnost báze) [12] . Věta o jednoznačnosti v teorii funkcí dokazuje jednoznačnost zobrazení každé množiny bodů v určité oblasti specifickou analytickou funkcí [13] . S ohledem na jedinečnost reprezentace analytickými funkcemi je třeba vzít v úvahu, že v obecném případě lze stejnou množinu bodů popsat jak nějakou konkrétní funkcí, tak zobecňující funkcí, která má v každé z nich jinou formu. domény funkce. To generuje bifurkace (větvení) funkce a tím i řešení modelovacího systému rovnic [14] .

Tato třída teorémů se zpravidla dokazuje „protikladem“, to znamená, že se předpokládá, že za daných podmínek věty existuje několik řešení, základní vektory mohou být vyjádřeny navzájem atd. a uvažováním tento předpoklad vedou k závěru, že učiněný závěr je nesprávnými předpoklady, což dokazuje hlavní tvrzení věty o jednoznačnosti řešení [15] .

Formuláře rozhodnutí

Řešení rovnic lze získat v jedné ze dvou forem:

Vždy je výhodnější analytická forma, protože umožňuje řešení použít pro přímou analýzu vlivu jeho parametrů. V číselném vyjádření je to obtížné. Používají se numerické a přibližné metody řešení z toho důvodu, že rozsah přesných řešení je výrazně omezen [16] . Kombinovaná řešení dávají nejlepší výsledek, když je numerická metoda založena na nějakém analytickém řešení blízkého problému, které je rozšířeno numerickými metodami do oblasti problémů, kde neexistují žádná analytická řešení. Hlavní nebezpečí, které v této kombinované metodě existuje, spočívá v tom, že nebere v úvahu zvláštnosti přechodu od exaktně řešitelného k numericky řešitelnému problému. Zejména stávající přibližná řešení pro dynamické systémy se soustředěnými parametry, přes známá analytická řešení pro systémy s distribuovanými parametry, obsahují systematickou chybu ve fázi oscilací, která vzniká tím, že při přechodu na limitu ze systémů s soustředěných parametrů do systémů s distribuovanými parametry, jsou fázové vztahy transformovány takovým způsobem, že je nelze obnovit během zpětného přechodu [17] .

Poznámky

  1. ↑ Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. M., Nauka, 1968, str. 41
  2. ↑ Vinogradov I. M. Algebraická rovnice. Matematická encyklopedie. M., Sovětská encyklopedie, svazek 1, s. 192
  3. ↑ Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. M., Nauka, 1968, str. 49
  4. ↑ Pontryagin L. S. Obyčejné diferenciální rovnice. M., Nauka, 1970, str. 9
  5. ↑ Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. M., Nauka, 1968, str. 252
  6. ↑ Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. M., Nauka, 1968, str. 253
  7. ↑ Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. M., Nauka, 1968, str. 565
  8. ↑ Korn G., Korn T., Příručka matematiky pro výzkumníky a inženýry. M., Nauka, 1968, str. 253
  9. ↑ Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. M., Nauka, 1968, str. padesáti
  10. ↑ Freiman L. S. Existenční teorémy. M., Nauka, 1968.
  11. ↑ Pontryagin L. S. Obyčejné diferenciální rovnice. M., Nauka, 1970, str. 153
  12. ↑ Gursky E. I., Ershova V. V. Základy lineární algebry a analytické geometrie. Minsk, Vyšší škola, 1968, str. 113
  13. ↑ Shilov G. E. Matematická analýza. Funkce jedné proměnné, díly 1-2, M., Nauka, 1969, str. 426
  14. ↑ Řešení pro nekonečné elastické koncentrované čáry
  15. ↑ Pontryagin L. S. Obyčejné diferenciální rovnice. M., Nauka, 1970, str. 159
  16. ↑ Elsgolts L. E. Diferenciální rovnice a variační počet. M., Nauka, 1969, str. 39.
  17. ↑ Některé vlastnosti simulace vynucených kmitů84