Trackl je vložení grafu do roviny takovým způsobem, že každá hrana je Jordanova křivka a každá dvojice hran se vyskytuje jednou. Hrany se mohou setkat buď ve společném koncovém bodě, nebo, pokud nemají žádné společné koncové body, ve vnitřních bodech. V druhém případě musí být průsečík příčný [1] .
Lineární dráha – dráha nakreslená úsečkami. Jakákoli lineární dráha nemá více hran než vrcholů, jak objevil Pal Erdős . Erdős si všiml, že pokud je vrchol v spojen se třemi nebo více hranami vw , vx a vy v lineární stopě, pak alespoň jedna z těchto hran leží na přímce oddělující další dvě hrany. Bez ztráty obecnosti předpokládáme, že vw je taková hrana a body x a y leží na opačných stranách uzavřených poloprostorů ohraničených přímkou vw . Potom musí mítvrchol w stupeň jedna, protože žádná jiná hrana než vw nemůže mít body společné s vx i vy . Odstraněním w ze stopy získáte menší dráhu bez změny rozdílu mezi počtem hran a vrcholů. Na druhou stranu, pokud má jakýkoli vrchol nejvýše dva sousedy, pak podle lemmatu handshake počet hran nepřesahuje počet vrcholů [2] . Na základě Erdősova důkazu lze dojít k závěru, že jakákoli lineární dráha je pseudolesem . Jakýkoli cyklus liché délky lze převést na lineární dráhu, ale to není možné u cyklů sudé délky, protože pokud zvolíte libovolnou hranu, pak ostatní vrcholy musí ležet střídavě na opačných stranách této hrany.
Micha Perles poskytl další jednoduchý důkaz, že lineární dráha má nejvýše n hran, a to na základě skutečnosti, že u lineární dráhy má každá hrana koncový vrchol, kde všechny hrany leží uvnitř úhlu, nejvýše 180°, pro který je daná hrana iniciála (při pohledu ve směru hodinových ručiček). Pokud tomu tak není, musí existovat dvě hrany spadající do opačných koncových vrcholů hrany a ležící na opačných stranách přímky, na které hrana leží. Tyto hrany se vzájemně neprotínají, ale to je možné pouze u hran sousedících s jedním vrcholem [3] .
Erdős si také všiml, že množina dvojic bodů, ve kterých je dosaženo průměru množiny bodů, musí být lineární dráha – žádné dva průměry nemohou mít žádné společné body, protože mezi čtyřmi konci těchto průměrů musí dva body ležet. ve vzdálenosti větší než je průměr. Z tohoto důvodu může mít libovolná množina n bodů v rovině maximálně n dvojic diametrů, což odpovídá na otázku, kterou v roce 1934 položili Heinz Hopf a Erica Panwitz [4] . Andrew Vashoni předpokládal hranice počtu diametrálních párů ve vyšších dimenzích, čímž problém zobecnil [2] .
Ve výpočetní geometrii lze rotační posuvné měřítko použít k získání lineární dráhy z libovolné sady bodů v konvexní poloze spojením dvojic bodů podepřených rovnoběžnými čarami tečnými ke konvexnímu trupu bodů. Tento graf obsahuje stopu diametrálních bodů jako podgraf [5] . Výčet lineárních drah lze použít k vyřešení problému největšího polygonu jednotkového průměru , tedy problému nalezení n - úhelníku maximální plochy vzhledem k jeho průměru [6] .
John Conway se domníval, že v žádné stopě počet hran nepřesahuje počet vrcholů. Sám Conway používal termíny cesty (cesty) a skvrny (místo hran a vrcholů ).
Ekvivalentně lze domněnku přeformulovat, protože každá dráha je pseudoles . Přesněji řečeno, pokud je dohad trackle správný, lze vlastnictví inzerátů přesně vyjádřit Woodallovým výsledkem - jedná se o pseudolesy, které nemají cykly délky 4 a mají alespoň jeden lichý cyklus [1] [7] .
Bylo dokázáno, že jakýkoli cyklický graf jiný než C 4 má vnoření stopy, což ukazuje, že domněnka je striktní v tom smyslu, že existují stopy, kde se počet vrcholů rovná počtu hran. Dosažitelný je i druhý extrémní případ, kdy je počet vrcholů dvojnásobkem počtu hran.
Je známo, že domněnka platí pro kolejové čáry nakreslené tak, že jakákoli hrana je x -monotónní křivka, která se protíná nejvýše jednou libovolnou svislou čárou [3] .
Lovas, Pach a Szegedy [8] dokázali, že každá bipartitní stopa je rovinný graf , i když není nakreslena v rovinné formě [1] . Jako důsledek ukázali, že každý treklově reprezentativní graf s n vrcholy má nejvýše 2n − 3 hran. Od té doby se hranice dvakrát zlepšila. Nejprve byla vylepšena na 3( n − 1)/2 [9] a poslední známá hranice je asi 1,428 n [10] . Navíc metoda použitá k získání výsledku poskytuje pro jakékoli ε > 0 konečný algoritmus, který buď zlepšuje vazbu na (1 + ε) n , nebo vyvrací domněnku.
Je známo, že pokud je domněnka nepravdivá, minimálním protipříkladem by byla dvojice sudých cyklů se společným vrcholem [7] . K prokázání domněnky tedy stačí dokázat, že grafy tohoto typu nelze kreslit jako stopy.