Barkerova rovnice

Barkerova rovnice je implicitní rovnice, která určuje vztah mezi polohou nebeského tělesa ( skutečná anomálie ) a časem při pohybu po parabolické dráze [1] . Tato rovnice byla široce používána při studiu drah komet [2] , jejichž dráhy mají excentricitu blízkou jednotě. V současnosti se tato rovnice používá v astrodynamice [2]

Problém vedoucí k Barkerově rovnici

Řešení úlohy dvou těles dává rovnici trajektorie v polárních souřadnicích ve tvaru

r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta ))

kde je parametr orbity; je excentricita oběžné dráhy; - pravá anomálie - úhel mezi radiusovým vektorem aktuální polohy těla a směrem k periapsi. Na druhou stranu platí druhý Keplerov zákon . $p$ $E$ $\vartheta$

r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}=c

kde je plošná konstanta. Na základě těchto rovnic je snadné získat integrál, který dává do souvislosti čas a skutečnou anomálii v bodech a oběžných drahách. $C$ $A_0$ $A_{1}$

{\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+e\,\cos \vartheta \right)^{2))))

Způsob výpočtu tohoto integrálu závisí na velikosti excentricity (viz Keplerovu rovnici ). Pro parabolickou trajektorii v tomto případě dojdeme k triviálnímu řetězci transformací $e=1$

t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta }{2}}\right) ^{2}\,d\vartheta =\left|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{ 1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits _{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _ {0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz ={\frac {p^{2}}{2\,c}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg} }{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1 }}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]

Vzhledem k tomu, že parametr orbity souvisí s plošnou konstantou

p={\frac {c^{2}}{\mu }}

kde je gravitační parametr centrálního tělesa a konstanta plochy v případě parabolického pohybu $\mu$

c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,\mu }{r_{\pi ))))

kde je vzdálenost k periapsi; - rychlost v pericentru, při pohybu po parabole, což je parabolická rychlost . Poté získáme parametr orbit a dospějeme ke konečnému výrazu $r_{\pi }$ $v_{\pi }$ ${\displaystyle p=2\,r_{\pi ))$

t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left[{\rm {tg}} {\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\ vlevo({\rm {tg))^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0} }{2}}\vpravo)\vpravo]

Nyní akceptujeme, že počátečním bodem trajektorie je pericentrum, a proto výslednou závislost transformujeme do tvaru $\vartheta _{0}=0$

n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\ rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta }{2}}

kde je střední pohyb nebeského tělesa. Výsledkem je kubická rovnice tvaru $n={\sqrt {\frac {\mu }{2\,r_{\pi }^{3))))$

S+{\frac {1}{3}}\,S^{3}-M=0

kde , je průměrná anomálie oběžné dráhy nebeského tělesa. Tato rovnice se nazývá Barkerova rovnice . $S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}$ $M=n\,\left(t-t_{0}\right)$

Tato rovnice představuje implicitní závislost skutečné anomálie na čase , kdy se nebeské těleso pohybuje po parabolické trajektorii. $\vartheta (t)$

Řešení Barkerovy rovnice

Rovnice

S+{\frac {S^{3}}{3}}-M=0

je kubická rovnice napsaná v Cardanoově kanonické formě a má analytické řešení. Pomocí počítačové algebry je snadné získat toto řešení obsahující jeden reálný a dva komplexně sdružené kořeny

S_{1}=x-{\frac {1}{x)),\quad S_{2,3}=-{\frac {x}{2))+{\frac {1}{2 \,x}}\pm i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\left(x+{\frac {1}{x}}\right)

kde $x={\frac {1}{2}}\,{\sqrt[{3}]{12\,M+4\,{\sqrt {9\,M^{2}+4}} }}$

Fyzikální význam tohoto problému odpovídá pouze skutečnému kořenu, takže můžeme psát

S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=x-{\frac {1}{x}}

Vzhledem k tomuto kořenu lze vypočítat sinus a kosinus skutečné anomálie

\cos \vartheta ={\frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},\quad \sin \vartheta ={\frac {2\,S}{1+ S^{2}}}\quad

kterým se s přihlédnutím k jejich znaménku určuje skutečná anomálie $\vartheta \in [0,\,2\,\pi )$

Barkerova rovnice

Problém vedoucí k Barkerově rovnici

Řešení Barkerovy rovnice

Viz také

Poznámky

Literatura