D'Alembertova rovnice

D'Alembertova rovnice je diferenciální rovnice tvaru

$y=x\varphi (y')+f(y'),$

kde a jsou funkce. Poprvé ji studoval J. D'Alembert (J. D'Alembert, 1748). Známá je také pod názvem Lagrangeova rovnice, zvláštní případ u se nazývá Clairautova rovnice [1] . $\varphi$ $F$ $\varphi (y')\equiv y'$

Řešení

Integrace diferenciálních rovnic tohoto typu se provádí v parametrickém tvaru pomocí parametru

y'=p.

S přihlédnutím k této substituci má původní rovnice tvar

y=x\varphi(p)+f(p).

Derivování vzhledem k x dává:

p=\varphi (p)+\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx))

nebo

p-\varphi (p)=\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx)).

Zvláštní rozhodnutí

Jedním z řešení poslední rovnice je jakákoli funkce, jejíž derivace je konstanta , která splňuje algebraickou rovnici ${\displaystyle y'=p=p_{0))$

p_{0}-\varphi (p_{0})=0,

protože na trvalo ${\displaystyle p_{0))$

{\frac {dp}{dx}}\equiv 0.

If , pak , konstantu C musíme najít dosazením do původní rovnice: $y'=p_{0}$ ${\displaystyle y=p_{0}x+C_{0))$

p_{0}x+C_{0}=x\varphi (p_{0})+f(p_{0}),

protože v posuzovaném případě pak $p_{0}=\varphi (p_{0})$

C_{0}=f(p_{0})

.

Nakonec můžeme napsat:

y=x\varphi (p_{0})+f(p_{0})

.

Pokud takové řešení nelze získat z obecného, pak se nazývá speciální .

Obecné řešení

Budeme uvažovat o inverzní funkci k , pak pomocí věty o derivaci inverzní funkce můžeme napsat: $p=y'$

{\frac {dx}{dp}}-x{\frac {\varphi '(p)}{p-\varphi (p)))={\frac {f'(p)}{p- \varphi(p)}}

.

Tato rovnice je lineární diferenciální rovnice prvního řádu , jejíž řešením získáme výraz pro x jako funkci p :

x=w(p,C).

Tak získáme řešení původní diferenciální rovnice v parametrickém tvaru:

{\begin{cases}y=x\varphi (p)+f(p)\\x=w(p,C)\end{cases))

.

Vyloučením proměnné p z této soustavy získáme obecná řešení ve tvaru

\Phi (x,y,C)=0

.

Poznámky

↑ Piskunov H. S. Diferenciální a integrální počet pro vysoké školy, díl 2.: Učebnice pro vysoké školy .. - 13. vydání -48 . — 560 str.