Riccatiho rovnice

Riccatiho rovnice je obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu tohoto tvaru

{\frac {dx}{dt}}=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t).\quad (*)

Riccatiho rovnice se také říká vícerozměrná analogie , tedy systém obyčejných diferenciálních rovnic s nezávislými proměnnými, jejichž pravou částí jsou polynomy druhého stupně v proměnných s koeficienty , které závisí na . Jednorozměrné a vícerozměrné Riccatiho rovnice nacházejí uplatnění v různých oblastech matematiky: algebraická geometrie [1] , teorie zcela integrovatelných hamiltonovských systémů [2] , variační počet [3] , teorie konformních zobrazení , kvantová teorie pole [4 ] . $(*)$ $x_{1},\ldots ,x_{n},$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $t$

Historie

Zvláštní případ takové rovnice:

b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{{\alpha }},\quad (**)

kde jsou nenulové konstanty, poprvé studovali italští matematici Jacopo Francesco Riccati a rodina Bernoulliových (Daniel, Johann, Nikolai Sr. a Nikolai Jr.) [5] [6] [7] . Našli podmínku, za níž tato rovnice připouští separaci proměnných a následně integraci v kvadratuře: aneb Jak dokázal Joseph Liouville (1841) , pro jiné hodnoty nelze řešení rovnice vyjádřit v kvadratuře z elementárních funkcí; jeho obecné řešení lze zapsat pomocí cylindrických funkcí . $\alpha ,\,a,\,b$ $\alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,$ $\alpha =-2.$ $\alpha$ $(**)$

Typová rovnice se často nazývá obecná Riccatiho rovnice a typová rovnice se často nazývá speciální Riccatiho rovnice . $(*)$ $(**)$

Vlastnosti

Riccatiho rovnice v tomto případě je lineární a lze ji integrovat do kvadratury. $a(t)=0$
Riccatiho rovnice v tomto případě je Bernoulliho rovnice a je integrována v kvadraturách pomocí změny $c(t)=0$ $y=1/x.$
Obecným řešením Riccatiho rovnice je lineárně-zlomková funkce integrační konstanty a naopak jakákoli diferenciální rovnice prvního řádu s touto vlastností je Riccatiho rovnice.
Pokud konkrétní řešení Riccatiho rovnice odpovídají hodnotám integrační konstanty, pak máme identitu $x_{1}(t),\ldots ,x_{4}(t)$ $c_{1},\ldots ,c_{4}$

{\frac {x_{3}(t)-x_{1}(t)}{x_{3}(t)-x_{2}(t))):{\frac {x_{4}(t) -x_{1}(t)}{x_{4}(t)-x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_ {2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\quad (***)

Levá strana identity , dvojitý poměr čtyř konkrétních řešení, je prvním integrálem Riccatiho rovnice. Obecné řešení rovnice je tedy obnoveno ze tří nezávislých partikulárních řešení pomocí vzorce . $(***)$ $(***)$

Aplikace

V Riemannově geometrii Riccatiho rovnice $S'(V)+S^{2}(V)+R(V,T)T=0$

uspokojit tvarové operátory pro ekvidistantní povrchy podél geodetických kolmých k nim s tečným polem . Stejně jako Jacobiho rovnice se tato rovnice používá při studiu geodetiky.

T

Variace a zobecnění

Maticová Riccatiho rovnice je diferenciální rovnice

{\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)

s ohledem na neznámou čtvercovou matici řádu , ve které jsou uvedeny čtvercové matice řádu s proměnně závislými koeficienty. $X=(x_{{ij}})$ $n$ $A,B_{1},B_{2},C$ $n$ $t$

V variačním počtu hraje důležitou roli maticová Riccatiho rovnice tvaru

{\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{{-1}}(t)\cdot (R^{*}(t)+W)-Q(t )

s ohledem na neznámou čtvercovou matici řádu , ve které jsou uvedeny čtvercové matice řádu s proměnně závislými koeficienty, kde hvězdička znamená transpozici . Úzce souvisí s Jacobiho rovnicí pro druhou variaci integrálního funkcionálu $W=(w_{{ij}})$ $n$ $P, Q, R$ $n$ $t$ $\det P\neq 0,$

J=\int f(t,x,{\tečka x})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots,x_{n}),

ve stacionárním bodě V tomto případě matice $\widehat x(\cdot ).$

P(t)={\Bigl (}{\frac {\částečný ^{2}f}{\částečný {\tečka x}_{i}\částečný {\tečka x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat x(t)}}),\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ i }\částečné x_{j))}{\Bigl )}{\Bigl |}_({\widehat x(t)))),\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac { \partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial {\tečka x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_({\widehat x(t))).

Literatura

Zelikin M. I. Homogenní prostory a Riccatiho rovnice ve variačním počtu , - Factorial, Moskva, 1998.
Egorov A. I. Riccati Equations, Fizmatlit, Moskva, 2001.
Laufer M. Ya. O řešení Riccatiových rovnic // Laufer M. Ya. Vybrané problémy matematické fyziky. So. články. — Severodvinsk: Stavitelé lodí NTO. akad. A. N. Krylová, Sevmashvtuz, Severodv. oddělení Lomonosova. Fond, 2005.- str. 137-140.- ISBN 5-7723-0605-9 .

Odkazy

Poznámky

↑ Wilczinski EJ Projektivní diferenciální geometrie křivek a řádkovaných ploch. Teubner, Lipsko, 1906.
↑ Zakharov V. E., Faddeev L. D. Korteweg-de Vriesova rovnice je zcela integrovatelný hamiltonovský systém.
↑ Zelikin M. I. Homogenní prostory a Riccatiho rovnice ve variačním počtu, - Factorial, Moskva, 1998.
↑ Winternitz P. Lieovy grupy a řešení nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Lecture Notes in Physics, 1983, roč. 189, str. 263-331.
↑ Riccati JF Animadversationes in aequationes Differentes secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
↑ Kantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Lipsko, 1901. (nedostupný odkaz)
↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati - Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.