Rovnice ve funkčních derivacích

Rovnice ve funkčních derivacích je zobecněním pojmu diferenciální rovnice na případ nekonečné množiny proměnných. Používá se ve funkcionální analýze a teoretické fyzice ( Schwinger-Tomonaga rovnice , Schwingerovy rovnice ).

Obyčejnou rovnici ve funkčních derivacích získáme přechodem na limitu k nekonečné množině proměnných z rovnice totálních diferenciálů [1] :

{\displaystyle du=p_{1}dx_{1}+p_{2}dx_{2}+...+p_{n}dx_{n))

(jeden),

kde: a koeficienty jsou funkcemi proměnných . $u$ ${\displaystyle p_{j))$ $n$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n))$

Při přechodu na limitu v rovnici (1) se součet změní na integrál a bude mít tvar: $n\to\infty$

\delta U=\int _{0}^{1}f[x(t);U,\tau ]\delta x(\tau )d\tau

(2)

kde: - neznámý funkcionál z funkce , - integrační proměnná. $U$ $x(t)$ $\tau$

Pomocí konceptu funkční derivace lze tuto rovnici zapsat jako:

U_{x(\tau )}^{'}=f[x(t);U,\tau ]

(3)

kde: - funkční derivát. $U_{x(\tau )}^{'}$

Pokud rodina funkcí patří do prostoru a závisí na číselném parametru, pak se rovnice ve funkčních derivacích změní v diferenciální rovnici prvního řádu, kterou lze pohodlně řešit metodou postupných aproximací [2] . $x(t)$ $L_{{2}}$

Pokud funkcionál závisí nejen na funkci , ale i na jednom nebo více číselných parametrech, pak se rovnice ve funkcionálních derivacích změní v integro-diferenciální rovnici, kterou lze řešit i metodou postupných aproximací [3] . $U$ $x(t)$

Poznámky

↑ Levy, 1967 , str. 107-108.
↑ Levy, 1967 , str. 108-110.
↑ Levy, 1967 , str. 110-112.

Literatura

Levy P. Konkrétní problémy funkcionální analýzy. — M .: Nauka , 1967. — 509 s.