Schwinger-Tomonaga rovnice

Schwinger-Tomonaga rovnice , v kvantové teorii pole , základní pohybová rovnice [1] , zobecňovat Schrödinger rovnici k relativistickému případu.

Vlnová funkce v relativistickém případě musí být dána jako funkcionál prostorových hyperpovrchů . Schwinger-Tomonaga rovnice pro vlnovou funkci má tvar: [2] $\Psi [\sigma ]$

i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\mathcal {H))(x)\Psi [\sigma ],

kde je hustota Hamiltoniánu ${\mathcal {H}} (x)$

H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .

$x=(x^{0},\mathbf {x} )$ je souřadnice v Minkowského prostoru . Schwinger-Tomonaga rovnice pro matici hustoty , která je také funkcionálem prostorových hyperpovrchů, má tvar: [3] $\mathbb {R} ^{1,3}$

i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))=[{\mathcal {H}} (x),\rho [\sigma ]].

Prostorově podobné hyperplochy jsou definovány trojrozměrným různým tvarem v , který může být rozšířen ve všech prostorových směrech. Tyto variety jsou určeny skutečností, že v každém bodě má hyperplocha jednotkový normálový vektor $\sigma$ $\mathbb {R} ^{1,3}$ $x\in \sigma$

n_{\mu }(x)n^{\mu }(x)=1,

časový

n^{0}(x)\geqslant 1.

Schwinger-Tomonaga rovnice je funkční diferenciální rovnice . Lze na ni nahlížet jako na diferenciální rovnici v rodině kontinua časových proměnných. [3] K tomu je nutné zvolit parametrizaci hyperplochy pomocí souřadnic trojrozměrného prostoru , pak lze body reprezentovat jako . Každý bod má tedy svou vlastní časovou proměnnou . $\sigma$ $\mathbf {x}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $x\in \sigma$ $x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )$ $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$ $x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )$

Funkční derivace v Schwinger-Tomonagově rovnici

Uvažujme bod a různou hyperplochu , která se liší pouze v nějakém okolí bodu . Označme objem čtyřrozměrné oblasti uzavřené mezi a . Potom je funkční derivace libovolného funkcionálu , což je zobrazení z množiny hyperploch na reálná čísla , definována [4] následovně [5] $x\in \sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ $\sigma$ $Vůl$ $X$ $\Omega (x)$ $\sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ ${\frac {\delta }{\delta \sigma (x)))$ $F[\sigma ]$

{\frac {\delta F[\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\underset {\Omega (x)\rightarrow 0}{\lim )){\frac {F[ \sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x))).

Řešení Schwinger-Tomonagovy rovnice

Řešení Schwinger-Tomonaga rovnice pro matici hustoty lze znázornit jako [6]

\rho (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\rho (\sigma _{0})U^{\dagger }(\sigma ,\sigma _{0}),

kde je unitární evoluční operátor formy $U(\sigma ,\sigma _{0})$

U(\sigma ,\sigma _{0})=\mathrm {Texp} \left[-i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma }{\mathcal {H} }(x)d^{4}x\vpravo],

kde je časově uspořádaný exponent. je matice počáteční hustoty definovaná na počátečním hyperpovrchu . Podobně, řešení Schwinger-Tomonaga rovnice pro vlnovou funkci může být reprezentováno jako $\mathrm {Texp}$ $\rho (\sigma _{0})$ $\sigma _{0}$

\Psi (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\Psi (\sigma _{0}),

kde je počáteční vlnová funkce. $\Psi (\sigma _{0})$

Nezbytná podmínka integrovatelnosti

Stejně jako parciální diferenciální rovnice vyžadují pro integrovatelnost komutovatelnost těchto derivací, tak Schwinger-Tomonaga rovnice pro matici hustoty má nezbytnou podmínku integrovatelnosti [6] , která vyžaduje, aby variační derivace komutovaly v libovolných bodech každé pevné prostorové hyperplochy : $\sigma$

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Tato podmínka je důsledkem požadavku mikrokauzality na hustotu Hamiltoniánu . Uvádí, že Hamiltoniany pro různé body prostorových intervalů ${\mathcal {H}} (x)$

[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (xy)^{2}<0.

Pokud vezmeme v úvahu Jacobiho identitu , máme:

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=[[{\mathcal {H}} (x), {\mathcal {H}} (y)],\rho [\sigma ]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Podmínka integrovatelnosti zajišťuje jedinečnost řešení.

Časoprostorový svazek a Schrödingerova rovnice

Prostorový svazek je definován [7] hladkou rodinou s jedním parametrem $\mathbb {R} ^{1,3}$

{\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau )\}

skládající se z prostorových hyperploch s vlastností, že každý bod patří k jedné a pouze jedné hyperplochě : $\sigma (\tau )$ $x\in \mathbb {R} ^{1,3}$ $\sigma (\tau )$

\forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\existuje !\tau \in \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau ).

Hyperplochu odpovídající bodu označujeme jako . Pevný svazek generuje rodinu stavových vektorů $X$ $\sigma _{x}$ ${\mathcal {F}}$

|\Psi (\tau )\rangle =\Psi (\sigma (\tau )).

Potom lze Schwinger-Tomonaga rovnici přeformulovat do integrálního tvaru

|\Psi (\tau )\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma (\tau )}{\mathcal {H }}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.

Čtyřrozměrná integrace je rozšířena na oblast obklopenou počáteční hyperplochou a hyperplochou rodiny, která leží zcela v budoucnosti . $\sigma _{0}=\sigma (0)$ $\sigma (\tau )$ $\sigma _{0}$

Nechť jsou hyperplochy definovány implicitním výrazem $\sigma (\tau )$

{\tilde {f}}(x,\tau )=0,

kde je hladká skalární funkce. Potom jednotkový normálový vektor ${\tilde {f))(x,\tau )$

n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt ({\frac {\partial {\tilde {f))(x,t)}{\částečné x^{\mu } }}{\frac {\částečná {\tilde {f}}(x,t)}{\částečná x_{\mu }})))}}{\frac {\částečná {\tilde {f}}(x , t)}{\částečné x^{\mu }}}.

Pro usnadnění normalizujeme funkci definující nadrovinu tak, abychom eliminovali normalizační faktor ve vzorci pro normální $f(x,\tau )=0$

n_{\mu }(x)={\frac {\částečné f(x,t)}{\částečné x^{\mu ))}.

Derivování integrální rovnice pro stavové vektory

{\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\int _{\sigma (\tau )}\left |{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau )\rangle d\sigma (x),

kde se integrace provádí přes hyperpovrch . Tato rovnice je kovariantní zobecnění Schrödingerovy rovnice. S přihlédnutím $\sigma (\tau )\in {\mathcal {F))$

\int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau ))\right|{\mathcal {H))(x)d\sigma (x )=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\partial x_{0}}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}} (x )d\sigma (x)=H(\tau )

pohybová rovnice pro stavové vektory má tvar

i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =H(\tau )|\Psi (\tau )\rangle .

Historické pozadí

Bezprostředně po nástupu kvantové mechaniky začaly pokusy budovat její relativistické zobecnění. Na této cestě však vyvstal zásadní problém, [1] z toho důvodu, že ve formalismu kvantové mechaniky [8] hraje čas v podstatě odlišnou roli, odlišnou od souřadnic. Na druhou stranu v teorii relativity musí časové a prostorové souřadnice působit symetricky jako složky jednoho 4-vektoru.

Pro nalezení relativistického zobecnění rovnice pro vývoj stavů bylo nutné pochopit, že nerelativistický čas hraje dvě role najednou, které jsou v relativistickém zobecnění rozděleny. Na jedné straně je to individuální čas události - právě tento čas by měl být symetrický k souřadnicím, na druhé straně slouží jako evoluční parametr řadící události v prostorově oddělených bodech. Relativistickým zobecněním této druhé funkce času může být libovolná množina vzájemně prostorově podobných bodů, takže každá časově podobná světová čára zahrnuje jeden a pouze jeden bod této množiny. Takovou sbírkou je vesmírný hyperpovrch . $\sigma$

Rovnice v popsané podobě byla nezávisle zavedena S. Tomonaga v roce 1946 a J. Schwingerem v roce 1948 a sloužila jako základ pro konstrukci Lorentz-invariantní poruchové teorie .

Poznámky

↑ 1 2 Prochorov, 1992 , TOMONAG - SCHWINGEROVA ROVNICE.
↑ Bogoljubov a Širkov, 1984 , s. 397.
↑ 1 2 Breuer a Petruccione, 2010 , s. 620.
↑ Taková definice vyžaduje, aby byla definována nejen na prostorových hyperplochách, ale také na jejich dostatečně malých variacích.
↑ Bogoljubov a Širkov, 1984 , s. 400.
↑ 1 2 Breuer a Petruccione, 2010 , s. 622.
↑ Breuer a Petruccione, 2010 , s. 623.
↑ A také ve svém původním formalismu klasické hamiltonovské mechaniky .

Literatura

Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Úvod do teorie kvantovaných polí. - 4. vydání, Rev. - M. : Nauka, Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1984. - 600 s. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Breuer H.-P. , Petruccione F. . Teorie otevřených kvantových systémů / Per. z angličtiny. vyd. Yu I. Bogdanova . - M. - Iževsk: Výzkumné centrum "Regulární a chaotická dynamika", Ústav počítačového výzkumu, 2010. - 824 s. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Prochorov A. M. (ed.). Fyzická encyklopedie . - M .: Sovětská encyklopedie , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .