Eulerovy rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. března 2013; kontroly vyžadují 7 úprav .

Ve fyzice Eulerovy rovnice popisují rotaci tuhého tělesa v souřadnicovém systému souvisejícím s tělesem samotným.

Závěr

V rámci vztažné soustavy vnějšího pozorovatele mají rovnice rotačního pohybu tvar

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf { I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M}

V této podobě jsou rovnice pro praxi málo použitelné, protože v obecném případě obě složky momentu hybnosti - tenzor momentu setrvačnosti a pseudovektor úhlové rychlosti - závisí na čase. Eulerovou myšlenkou bylo přejít k referenční soustavě pevně spojené s rotujícím tělesem. V tomto systému je moment tenzoru setrvačnosti konstantní a lze jej vzít jako derivaci. Pro další zjednodušení zvolíme jako pevné osy tělesa jeho hlavní osy setrvačnosti. Změnu momentu hybnosti tedy můžeme rozdělit na složku popisující změnu velikosti a na složku, která tuto změnu směru kompenzuje . $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

Potom mají rovnice tvar:

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

kde je moment hybnosti tělesa vzhledem k prostorovým osám, je změna momentu hybnosti tělesa vzhledem k jeho pevným osám, rychlost změny Eulerových úhlů os spojených s tělesem vzhledem k prostorové osy a je to vnější točivý moment. $\mathbf{L}$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }$ $\mathbf{\omega}$ ${\mathbf {N}}$

pokud jej nahradíme komponentami , můžeme jej nahradit výrazem . pokud zvolíme základní vektory tak, aby se shodovaly s hlavními osami setrvačnosti tělesa, pak se první tři členy rovnají a zbývající tři jsou . $\mathbf{L}$ $I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _ {3}\mathbf {e} _{3}$ ${\frac {d\mathbf {L} }{dt))$ $I_{1}{\tečka {\omega }}_{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}{\tečka {\omega }}_{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}{\tečka {\omega }}_{3}\mathbf {e} _{3}+{\frac {d\mathbf {e} _{1}}{dt}} \omega _{1}I_{1}+{\frac {d\mathbf {e} _{2}}{dt}}\omega _{2}I_{2}+{\frac {d\mathbf {e } } _{3}}{dt}}\omega _{3}I_{3}$ $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }$ $\mathbf {\omega } \times \mathbf {L}$

Potom Eulerovy rovnice ve formě komponent nabývají tvaru:

{\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\tečka {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\ omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\tečka {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _ {1}\\N_{3}&=&I_{3}{\tečka {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2 }\\\end{matrix}}

Tyto tři rovnice je také možné použít, pokud osy, ve kterých je zapsáno , nesouvisejí s tělesem. Pak by to mělo být nahrazeno rotací os namísto rotace těla. Stále je však požadováno, aby vybrané osy byly hlavními osami setrvačnosti! Tato forma Eulerových rovnic je vhodná pro použití pro objekty, které mají rotační symetrii , což umožňuje libovolnou volbu některých hlavních os setrvačnosti. $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }$ $\mathbf{\omega}$

Typ rovnic v libovolném lokálním souřadném systému

Je možné zvolit lokální systém, který se neshoduje s hlavními osami setrvačnosti tělesa. V tomto případě mají rovnice tvar

N_{s}=I_{sq}{\tečka {\omega }}_{q}+\varepsilon _{stp}\omega _{t}I_{pq}\omega _{q},

kde je tenzor setrvačnosti tělesa ve zvoleném lokálním souřadnicovém systému. ${\displaystyle I_{sq))$

Viz také

Eulerův vzorec (kinematika tuhého tělesa) pro spojení rychlostí bodů tuhého tělesa
Seznam objektů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi