Sommerfeldovy radiační podmínky

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. ledna 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Helmholtzova rovnice [1] :

\Delta U+k^{2}U=f

- má více než jedno řešení ve třídě ( zobecněných ) funkcí, které mizí v nekonečnu. Aby bylo možné izolovat třídu jednoznačnosti řešení (z důvodu pohodlí zvolte konkrétní řešení) v neomezených doménách, je nutné vyžadovat další omezení na řešení v nekonečnu. Tato omezení byly Sommerfeldovy radiační podmínky:

u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\částečné u(x)}{\částečné |x|}}- iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left(1\right)

nebo

u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\částečné u(x)}{\částečné |x|}}+ iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left({\overline {1}}\right)

Radiační podmínky odpovídají vlnám jdoucím do nekonečna a podmínky odpovídají vlnám přicházejícím z nekonečna. Pro harmonické funkce vyplývají podmínky vyzařování z jediného požadavku: . Lze také ukázat, že pro jakékoli řešení homogenní Helmholtzovy rovnice, které splňuje druhou z podmínek nebo splňuje první podmínku: $\left(1\right)$ $\left({\overline {1}}\right)$ $\left(k=0\right)$ $u\left(\infty\right)=0$ $k>0$ $\left(1\right)$ $\left({\overline {1}}\right)$ $u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right)$

Poznámky

↑ Vladimirov V.S. "Rovnice matematické fyziky", M., "Nauka", 1981, s. 438-439

Literatura

A. Sommerfeld . Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. - 1912. - Sv. 21. - S. 309-353.
S. H. Schot. Osmdesát let Sommerfeldova radiačního stavu // Historia Mathematica. - 1992. - Sv. 19. - S. 385-401.
S. V. Molodtsov. Sommerfeldovy radiační podmínky // Fyzikální encyklopedie