Slovní počítání

Mentální účet  - matematické výpočty prováděné osobou bez pomoci dalších zařízení ( počítač , kalkulačka , počítadlo atd.) a zařízení ( pero , tužka , papír atd.).

Proces mentálního počítání

Proces mentálního počítání lze považovat za technologii počítání, která kombinuje lidské představy a dovednosti o číslech, matematické algoritmy aritmetiky.

Existují tři typy technologie mentálního počítání , které využívají různé fyzické schopnosti člověka:

• účet " na prstech ";
• technologie počítání zvukových motorů;
• technologie vizuálního počítání.

Charakteristickým rysem audiomotorického mentálního počítání je doprovod každé akce a každého čísla slovní frází jako „dvakrát dva jsou čtyři“. Tradičním systémem počítání je právě technologie audiomotoru. Nevýhody audiomotorické metody provádění výpočtů jsou:

• absence vztahů se sousedními výsledky v zapamatované frázi,
• nemožnost oddělit desítky a jednotky součinu ve frázích o násobilce bez opakování celé fráze;
• neschopnost obrátit frázi z odpovědi na faktory, což je důležité pro provedení dělení se zbytkem;
• pomalá rychlost přehrávání verbální fráze.

Superpočítače, prokazující vysokou rychlost myšlení, využívají své zrakové schopnosti a vynikající vizuální paměť. Lidé, kteří jsou zběhlí v rychlostních výpočtech, nepoužívají slova v procesu řešení aritmetického problému ve svých myslích. Ukazují realitu vizuální technologie mentálního počítání , postrádají hlavní nevýhodu - pomalou rychlost provádění elementárních operací s čísly.

Mentální aritmetika na základní škole

Rozvoj mentálních dovedností počítání zaujímá na základní škole zvláštní místo a je jedním z hlavních úkolů výuky matematiky v této fázi [1] . Právě v prvních letech výcviku jsou položeny hlavní metody ústních výpočtů, které aktivují duševní aktivitu studentů, rozvíjejí dětskou paměť, řeč, schopnost vnímat to, co se říká uchem, zvyšují pozornost a rychlost reakce [1 ] .

K výuce dětí počítat se často používá japonské počítadlo - soroban . Mnoho odborníků se domnívá, že metoda počítání pomocí asijského počítadla (tato metoda se také nazývá mentální aritmetika ) se objevila ve staré Číně, ale neexistují pro to žádné důkazy. Počítadlo byla počítací deska. Tato zařízení byla používána po celém světě, nejen v Číně [2] .

Dokončení mentálního aritmetického tréninkového programu obvykle trvá několik let. Nejprve se děti naučí počítat se skutečným počítadlem. Poté začnou studenti místo skutečné desky používat její obrázek: při pohledu na výkres během výpočtů si musíte představit, jak se pohybují klouby. Nakonec si děti začnou počítadlo vizualizovat, což jim umožňuje mentálně provádět stejné operace jako při použití skutečné desky. Mnoho odborníků se domnívá, že mentální aritmetika může účinně rozvíjet logické myšlení, analytické schopnosti a zlepšit paměť. Studenti si dokážou představit úkoly, hlouběji jim porozumět a kreativně myslet. Tyto dovednosti jim pomáhají lépe soustředit pozornost, systematizovat získané znalosti a lépe se adaptovat na měnící se podmínky [2] .

Někteří pedagogové a vědci jsou však k této metodě trochu skeptičtí. Takže podle učitele lidu Ruska Leonida Isakoviče Zvaviche je mentální počítání užitečná věc, ale existuje mnoho dalších metod mentálního počítání a je těžké říci, která z nich je lepší. Úspěch dítěte v učení do značné míry závisí na tom, jaké mělo učitele, ale rozvojové aktivity mu samozřejmě pomáhají vytáhnout různé předměty [2] .

Ale i kritici této metody připouštějí, že mentální aritmetika má stále určité výhody, zvláště pokud je matematika pro dítě obtížná. Navíc si děti v procesu učení vypěstují návyk pracovat, což se jim v pozdějším věku určitě bude hodit [2] .

Simulátory pro mentální počítání

Digitální gramofony na telefonní matrici.

Digitální gramofony v základním provedení jsou dva telefonní panely, které lze otáčet kolem středové osy. Digitální gramofony jsou mechanické učební pomůcky, které umožňují dětem naučit se formou hry metody geometrického sčítání a násobení jednociferných desetinných čísel. Popsáno v RF patentu [3] .

Stavba digitálního gramofonu . Pevnou základnou točny je rovina s kresbami čísel uspořádanými ve formátu T-matice o třech řadách a třech sloupcích. Na základnu je umístěna rotující rovina (vrtule), na které jsou nakresleny šipky, které naznačují odpovědi. Osa otáčení vrtule se shoduje se středem pevné T-matice. Jediným dostupným pohybem je otáčení vrtule kolem osy [4] .

Sčítání .

Princip fungování digitálního gramofonu je následující. Součet jednociferných čísel A+B=[D;E] zapisujeme dvěma číslicemi po desítkách D a jednotkách E. Všechny příklady se stejnou hodnotou členu +B budeme nazývat sčítací list .

Počet jednotek E příkladu sčítání ukazujeme šipkou od A do E. Tato šipka se nazývá indikátor součtových jednotek .

Šipky na dodatkovém listu tvoří přerušované čáry blesků .

Pravidlo jednotky . Sčítání A + B se provádí pohybem po ukazateli šipky zobrazené na sčítacím listu (+B) od čísla A k číslu E jednotek součtu.

Příklad 2+1 . Budete potřebovat doplňkový list (+1). Nastavte štítek čipu na číslo 2 na T-matici. Posouváme žeton podél bleskové šipky vycházející z bodu 2. Konec ukazatele ukazuje součet 3.

Příklad 7+7 . Vezmeme sčítací list (+7). Nastavte štítek čipu na číslo 7 na T-matici. Posouváme žeton podél šipky „step up“ na 7. blesku vycházejícím z bodu A=7. Konec ukazatele ukazuje číslici jednotky E=4.

Použijte pravidlo desítek . Pokud na jednotkovém ukazateli součtu A->E, tedy A>E, existuje inverze, pak je desítková číslice součtu D=1 [5] .

Násobení .

Proveďme následující pokus s příklady násobení 3 (třetí list násobení 3xB=[D;E]). Představte si, že jsme uprostřed velké telefonní T-matice. Ukažme si levou rukou směr od středu k násobičce B. Odložme pravou ruku, svírající s levou rukou pravý úhel. Potom pravá ruka ukáže jednotkovou číslici E příkladu násobení 3xB [6] . Pravidlo jednotek při násobení 3 je tedy formulováno dvěma slovy: „jednotky vpravo“ (z radiálního paprsku faktoru B).

Pravidlo pro otáčení paprsků (čísel) na T-matici lze považovat za mnemotechnické pravidlo , vhodné pro zapamatování všech příkladů 3. násobilky. Pokud učitel požádá o výpočet 3x7, student si zapamatuje obrázek T-matice s potřebnými paprsky a přečte z něj čísla odpovědí a čísla nazve slovy . V geometrických výpočtech v mysli však slova nejsou zapotřebí, protože slova se objevují v mysli kalkulačky po obrázku, kde jsou již uvedena čísla odpovědí. Současně s obrázkem, který se objeví v paměti člověka, již bylo přijato a realizováno číslo výsledku.

Je třeba poznamenat, že prvky obrazu ve vizuální aritmetice jsou standardizované, lze je považovat za jazyk vizuálních obrazů , jejichž sekvence (odpovídající algoritmu) je ekvivalentní provádění výpočtů. Obrázky, které se objeví v paměti, mohou být dynamické , jako ve filmu, nebo statické , pokud jsou počáteční data i výsledná čísla zobrazena na stejném geometrickém diagramu. Jednokrokové algoritmy jsou vhodnější než vícekrokové.

Pro zapamatování správného obrázku a získání číslic odpovědi na elementární příklad je nutný časový interval 0,1-0,3 sekundy. Všimněte si, že při geometrickém řešení elementárních příkladů nedochází k nárůstu zátěže na psychiku. Ve skutečnosti je geometrický účet trénovaného kalkulátora automaticky vysokorychlostním účtem.

Počítač "na prstech" .

Indikaci radiálních paprsků při vynásobení 3 lze provést dlaní pravé ruky . Odložte palec pravé ruky a pevně stiskněte zbytek prstů. Položme pravou dlaň na střed T-matice, palec namíříme na násobič B. Poté zbývající prsty pravé ruky ukáží počet jednotek E součinu 3xB=[D;E]). Takže násobení 3 je na telefonní matici implementováno pravidlem pravé ruky ". Například 3x2=6 [7] .

Podobně: pravidlo jednotek násobení 7 je pravidlem levé ruky [8] .

Jednotkovým pravidlem pro násobení 9 je rozdělení prstů [9] .

Další geometrická pravidla pro jednotky násobení lze ukázat na diagramech, které mají radiální paprsky T-matice [10] . V tomto případě se násobení sudých čísel provádí na sudém kříži číslic T-matice [11] . Úspěšným simulátorem jsou mechanické výcvikové pomůcky – digitální gramofony využívající digitální telefonní matici [12] .

Pro zobrazení velikosti desítek součinu AxB můžete použít stupňovité modely násobilek, jejichž vzhled a vlastnosti si pamatujeme stejně jako terén. Výška ručičky nad základnou (podlahou) ukazuje hodnotu desítek. Pokud je číslo D větší než 5, pak bude spodní část podlahy odpovídat D=5 a horní úroveň ruky bude odpovídat 9 [13] .

Fenomenální čítače

Fenomén speciálních schopností v mentálním počítání existuje již dlouhou dobu. Jak víte, vlastnilo je mnoho vědců, zejména Andre Ampère a Karl Gauss . Schopnost rychle počítat však byla vlastní i mnoha lidem, jejichž profese měla k matematice a vědě obecně daleko.

Až do druhé poloviny 20. století byla na jevišti oblíbená vystoupení specialistů na ústní počítání [14] . Někdy mezi sebou organizovali ukázkové soutěže, které se konaly i ve zdech respektovaných vzdělávacích institucí, mezi které patřila např. Lomonosova Moskevská státní univerzita [14] .

Mezi známé ruské „superpřečítače“:

• Aron Chikvashvili  - "zázračný pult" [15] [16] [17] [18]
• Arrago [14]
• David Goldstein [14]
• Igor Šeluškov [15]
• Gorny (Jaškov) Jurij Gavrilovič [19]
• A. V. Nekrasov  - "člověk-počítač" [20] [21] [22] [23] [24]
• Vladimir Kutyukov  - "člověk-kalendář" [25] [26] [27] [28] [29] [30]

Mezi zahraničními:

• Borislav Gadzhansky [15]
• William Kline [15]
• Jacques Inaudi [15]
• Louis Fleury [15]
• Mademoiselle Osaka [15]
• Maurice Dagber [15]
• Thomas Fuller [15]
• Urania Diamondi [15]
• Shakuntala Devi [15]
• Yusnier Viera  je kubánský-americký matematik, fenomenální počítadlo , držitel světového rekordu v oblasti výpočtu ústního kalendáře [31] [32] .

I když někteří odborníci ujišťovali, že jde o vrozené schopnosti [33] , jiní přesvědčivě tvrdili opak: „Podstata není jen a ani ne tak v nějakých výjimečných, fenomenálních“ schopnostech, ale ve znalosti některých matematických zákonitostí, které umožňují rychle provádět výpočty“ a ochotně tyto zákony zveřejnil [14] .

Soutěže v mentálním počítání

V současné době se v pobaltských zemích, ve Slovinsku a na Ukrajině konají soutěže v ústním počítání mezi školáky pod názvem Pranglimine ( est. Pranglimine ). Od roku 2004 se konají mezinárodní soutěže mezi školáky a dospělými. V roce 2016 se soutěž konala v Murska Sobota (Slovinsko) [34] [35] .

Od roku 2004 se mistrovství světa v mentálním počítači koná každé dva roky [36] . Soutěží se v řešení úloh, jako je sčítání deseti desetimístných čísel (podle pravidel roku 2016 je na tento úkol dáno 7 minut), vynásobení dvou osmimístných čísel za 10 minut, výpočet dne v týdnu podle Gregoriánský kalendář pro dané datum od 1600 do 2100 let (1 minuta), druhá odmocnina ze 6 číslic za 10 minut (výsledek je nutné hlásit na 8 desetinných míst). Vítěz v kategorii „Nejlepší univerzální počítadlo“ je určen také na základě výsledků řešení šesti neznámých „problémů s překvapením“. K žádosti jsou přiloženy výsledky ve sportu mysli a výsledek v programech Memoriad (z memoriad.com [37] ), potvrzený někým (například učitelem matematiky). Neexistuje žádná věková hranice a nerozlišují se pohlaví. Účastník zahájí každý úkol příkazem „Neurony: připraven, jdi“. Šampionát v roce 2018 se konal ve dnech 28. – 30. září 2018 v Phæno Science Center v německém Wolfsburgu podle následujících pravidel [ 38] .

Memoriad [37] (Mental math + meMORy + olimpIAD) je mezinárodní olympiáda v mentální aritmetice, memorování a rychlém čtení, která se koná každé 4 roky (v letech s letními olympijskými hrami). Mentální aritmetické úkoly zahrnují: násobení 5-, 8- a 20-ciferných čísel; dělení 10-ciferných čísel 5-cifernými; odvození odmocniny z 6-, 8- a 10místného čísla; sčítání 250 dvou -ciferná čísla, každé číslo ukazuje 0,6 sekundy. Mezi další úkoly: zapamatování binárních čísel, desetinná čísla na určitou dobu (od 1 minuty do 1 hodiny).

Trachtenbergova metoda

Mezi těmi, kdo praktikují mentální aritmetiku, je velmi oblíbená kniha „Quick Counting Systems“ od curyšského profesora matematiky Jacoba Trachtenberga [39] . Historie jeho vzniku je neobvyklá [15] . V roce 1941 Němci budoucího autora uvrhli do koncentračního tábora . Aby si vědec zachoval čistotu mysli a přežil v těchto podmínkách, začal vyvíjet systém zrychleného počítání. Za čtyři roky se mu podařilo vytvořit ucelený systém pro dospělé a děti, který později nastínil v knize. Po válce vědec vytvořil a vedl Curyšský matematický institut [15] .

Mentální aritmetika v umění

V Rusku obraz ruského umělce Nikolaje Bogdanova-Belského „ Mental Account. V lidové škole S. A. Rachinského “, napsané v roce 1895. Úkol zadaný na tabuli, o kterém studenti přemýšlejí, vyžaduje poměrně vysoké mentální počítání a vynalézavost. Zde je její stav:

Fenomén rychlého počítání autistického pacienta je odhalen ve filmu " Rain Man " od Barryho Levinsona a ve filmu " Pi " od Darrena Aronofského .

Některé triky mentálního počítání

K ústnímu vynásobení čísla jednociferným faktorem (například 34×9) je nutné provést akce počínaje nejvýznamnější číslicí a postupně sčítat výsledky (30×9=270, 4×9=36 , 270+36=306) [40] .

Pro efektivní mentální počítání je užitečné znát násobilku do 19 × 9. V tomto případě se násobení 147×8 provádí mentálně následovně: 147×8=140×8+7×8= 1120 + 56= 1176 [40] . Bez znalosti násobilky do 19×9 je však v praxi pohodlnější všechny takové příklady spočítat zmenšením násobiče na základní číslo: 147×8=(150−3)×8=150×8−3 ×8=1200−24=1176 a 150×8=(150×2)×4=300×4=1200.

Pokud se jeden z násobených rozloží na jednohodnotové faktory, je vhodné provést akci postupným násobením těmito faktory, například 225×6=225×2×3=450×3=1350 [40] . Také 225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350 může být jednodušší.

Několik způsobů počítání:

• Vynásobte 10. Přiřaďte nulu vpravo: 48 × 10 \u003d 480.

• Násobení 9. Chcete-li vynásobit číslo 9, musíte k násobku přidat 0 a od výsledného čísla násobitel odečíst, například 45 × 9=450−45=405.

• Násobení 5 je pohodlnější takto: nejprve vynásobte 10 a poté vydělte 2.

• Vynásobte 11 dvouciferným číslem [N; A]. Posuňte čísla N a A od sebe, doprostřed zadejte součet (N + A).

například 43×11 = [4; (4+3); 3] = [4; 7; 3] = 473.

• Při násobení 1,5 je třeba vynásobené rozdělit na polovinu a přičíst k vynásobenému, například 48 × 1,5 = 48/2 + 48 = 72. Lze použít při násobení 15 48 × 1,5 × 10 \u003d 720.

• Umocnění čísla tvaru [N;5] (končícího na pět) se provede podle schématu: N vynásobíme N + 1, zapíšeme po stovkách a přiřadíme 25 doprava. Vzorec: [N; 5]x[N; 5] = [ (Nx(N+1)); 2; 5].
  

Důkaz: Například 65² = 6×7 a přiřadit 25 doprava, dostaneme 4225 nebo 95² = 9025 (stovky 9×10 a atribut 25 vpravo).

• Čísla, která se blíží číslům vhodným pro násobení. lze odmocnit pomocí vzorce (např. 42² = (42 + 2) (42 − 2) + 2² = 44 × 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764). Můžete také násobit čísla, která jsou stejně malá od běžných čísel, například: 23 × 17 = (20 + 3) (20 − 3) = 20² − 3² = 400 − 9 = 391. [41]

Viz také

• Binomický
• Výpočetní matematika
• kalkulačka (profese)
• Násobilka

Poznámky

1. ↑ 1 2 G. V. Dyudyaeva, N. V. Dolbilova O vlivu systému ústních cvičení na výkon mladších školáků v matematice // Učitel - student: problémy, rešerše, nálezy: Sborník vědeckých prací. Vydání 8
2. ↑ 1 2 3 4 Kuzaev, Marat. Mají děti prospěch z mentální aritmetiky  : [ arch. 24.07.2018 ] // TASS . - 2018. - 23. července. — Datum přístupu: 06.06.2021.
3. ↑ Patent Ruské federace č. 2406160, 2009. V. B. Curds. Digitální gramofony pro sčítání, odčítání, násobení a dělení celých čísel pomocí telefonní T-matice
4. ↑ T-matice a konstrukce zipu. . Datum přístupu: 29. října 2013. Archivováno z originálu 1. listopadu 2013. (neurčitý)
5. ↑ A. V. Tvorogov Digitální gramofony ve hře způsob výuky sčítání. . Získáno 30. října 2013. Archivováno z originálu 30. října 2013. (neurčitý)
6. ↑ Ilustrace, jak násobit 3. . Datum přístupu: 31. října 2013. Archivováno z originálu 2. listopadu 2013. (neurčitý)
7. ↑ Ilustrace násobení 3. . Datum přístupu: 29. října 2013. Archivováno z originálu 1. listopadu 2013. (neurčitý)
8. ↑ Ilustrace násobení 7. . Datum přístupu: 29. října 2013. Archivováno z originálu 1. listopadu 2013. (neurčitý)
9. ↑ Ilustrace násobení 9. . Datum přístupu: 29. října 2013. Archivováno z originálu 1. listopadu 2013. (neurčitý)
10. ↑ Pravidla jednotek pro násobilku na telefonní matici. . Získáno 30. října 2013. Archivováno z originálu 30. října 2013. (neurčitý)
11. ↑ Ilustrace jednotkového pravidla pro násobení. . Datum přístupu: 29. října 2013. Archivováno z originálu 1. listopadu 2013. (neurčitý)
12. ↑ A. V. Tvorogov Digitální gramofony jako nástroj násobení. . Získáno 30. října 2013. Archivováno z originálu 30. října 2013. (neurčitý)
13. ↑ A. V. Tvorogov "Počítač na prstech" v herní metodě studia násobilky. . Získáno 30. října 2013. Archivováno z originálu 30. října 2013. (neurčitý)
14. ↑ 1 2 3 4 5 Genialita nebo metoda? Archivní kopie ze dne 27. února 2011 na Wayback Machine // A. Leonovich, Science and Life , N4 1979
15. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Počítadla zázraků. Archivováno 27. února 2021 na Wayback Machine // Viktor Pekelis, Technika pro mládež , N7 1974
16. ↑ Miracle counter // Divo-90. Zázraky. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 1991. - S. 54. - 207 s. — 100 000 výtisků.
17. ↑ Miracle counter // Miracle 93. Miracles. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 1993. - S. 29. - 191 s. — 100 000 výtisků.  — ISBN 5-87012-008-X . .
18. ↑ Miracle Counter // Kniha rekordů "Lefty". - Moskva: Nakladatelství "Celé Rusko", 2004. - S. 123. - 336 s. - 4000 výtisků.
19. ↑ Oficiální stránky Yu Gorny . Získáno 20. září 2010. Archivováno z originálu 5. ledna 2010. (neurčitý)
20. ↑ Člověk-počítač // Divo-90. Zázraky. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 1991. - S. 54. - 207 s. — 100 000 výtisků.
21. ↑ Člověk-počítač // Divo 93. Zázraky. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 1993. - S. 29. - 191 s. — 100 000 výtisků.  — ISBN 5-87012-008-X . .
22. ↑ Člověk-počítač // Divo. Zázraky. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 1998. - S. 30. - 224 s. — 15 000 výtisků.  - ISBN 5-87012-014-4 . .
23. ↑ Člověk-počítač // Divo. Zázraky. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 2001. - S. 29. - 287 s. — 10 000 výtisků.  — ISBN 5-87012-017-9 . .
24. ↑ Člověk-počítač // Kniha rekordů "Lefty". - Moskva: Nakladatelství "Celé Rusko", 2004. - S. 123. - 336 s. - 4000 výtisků.
25. ↑ Muž-kalendář // Zázrak 93. Zázraky. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 1993. - S. 29. - 191 s. — 100 000 výtisků.  — ISBN 5-87012-008-X . .
26. ↑ Muž-kalendář // Skvělé. Zázraky. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 1998. - S. 30-31. — 224 s. — 15 000 výtisků.  - ISBN 5-87012-014-4 . .
27. ↑ Kalendář v hlavě // Divo. Zázraky. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 2001. - S. 29-30. — 287 s. — 10 000 výtisků.  — ISBN 5-87012-017-9 . .
28. ↑ Kalendář v hlavě // Divo. Zázraky. Evidence. Úspěchy. - Moskva: "Divo", 2005. - S. 28-29. — 208 s. - ISBN 5-87012-023-3 . .
29. ↑ Man-kalendář // Kniha rekordů "Lefty". - Moskva: Nakladatelství "Celé Rusko", 2004. - S. 123. - 336 s. - 4000 výtisků.
30. ↑ Úžasní lidé. Sezóna 4 8 vydání. Vladimír Kuťukov. Muž s kalendářem YouTube
31. ↑ Mladý kubánský čtvrtý v mentální kalkulové olympiádě. Archivováno 11. března 2012 na Wayback Machine 
32. ↑ Kubánský zázrak se chystá na další Guinnessův rekord. Archivováno 11. března 2012 na Wayback Machine 
33. ↑ „Myslím, že soudruhu. Goldstein D.N. je kalkulačka nejvyšší značky ... Jeho práce je založena výhradně na paměti a vrozených schopnostech. Jsem velmi rád, že v něm můj podnik našel docela zaslouženého nástupce.“ R. S. Arrago, Moskva, 5.11.1929
34. ↑ PRANGLIMINE. Archivováno 5. března 2010 na Wayback Machine  (v estonštině)
35. ↑ Expresní faktura Pranglimine. . Datum přístupu: 12. září 2010. Archivováno z originálu 30. ledna 2009. (neurčitý)
36. ↑ Alexander Khavronin . Požírač čísel. Robert Fontaine se počítá do šampionátu , Radio Liberty  (8. prosince 2006). Staženo 29. září 2012.
37. ↑ 12 Memoriad.com . _ Získáno 23. ledna 2022. Archivováno z originálu 5. května 2015. (neurčitý)
38. ↑ Pravidla . Získáno 19. září 2018. Archivováno z originálu 19. září 2018. (neurčitý)
39. ↑ Ya. Trachtenberg "Systémy rychlého počítání"
40. ↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Rychlé počítání. Třicet jednoduchých metod mentálního počítání.
41. ↑ Arthur Benjamin - Tajemství mentální matematiky  . Datum přístupu: 19. února 2016. Archivováno z originálu 5. srpna 2017.

Literatura

• Bantova M. A. Systém formování výpočetních dovedností. //Začít. škola - 1993. - č. 11. - str. 38-43.
• Beloshistaya A. V. Metoda pro utváření ústních počítačových dovedností v rámci 100 // základní školy. - 2001.- č. 7
• Berman G.N. Counting methods, ed. 6., Moskva: Fizmatgiz, 1959.
• Borotbenko EI Ovládání ústních počítačových dovedností. //Začít. škola - 1972. - č. 7. - str. 32-34.
• Vozdvizhensky A. Mental Computing. Pravidla a zjednodušené příklady akcí s čísly. — 1908.
• Volkova SI., Moro MI Sčítání a odčítání vícehodnotových čísel. //Začít. škola - 1998.-№ 8.-str.46-50
• Voskresensky MP Metody zkrácených výpočtů: Celá čísla. - M .: Tipo-lit. W. Richter, 1905.- 39 s.
• Wroblewski . Jak se naučit počítat snadno a rychle. - M.-1932. — 132 s.
• Gol'dshtein D. N. Kurz zjednodušených výpočtů. M.: Stát. výchovně-ped. vyd., 1931.
• Gol'dshtein D. N. Technika rychlých výpočtů. M.: Uchpedgiz, 1948.
• Gonchar D.R. Ústní počítání a paměť: Hádanky, vývojové techniky, hry // v sobotu Ústní počítání a paměť. Doněck: Stalker, 1997. ISBN 966-596-057-7 .
• Demidova T. E., Tonkikh A. P. Metody racionálních výpočtů v základním kurzu matematiky // Základní škola. - 2002. - č. 2. - S. 94-103.
• Cutler E. McShane R. Trachtenberg Systém rychlého počítání. - M.: Uchpedgiz. - 1967. - 150 s.
• Lipatniková I. G. Role ústních cvičení v hodinách matematiky // Základní škola. - 1998. - č. 2.
• Martel F. Metody rychlého počítání. — Pb. −1913. − 34 s.
• Martynov I. I. Ústní počítání pro školáka, jaké jsou stupnice pro muzikanta. // Základní škola. - 2003. - č. 10. - S. 59-61.
• Melentiev P. V. "Rychlé a ústní výpočty." Moskva: Gostechizdat, 1930.
• Perelman Ya. I. Rychlé skóre. L.: Sojuzpechat, 1945.
• Pekelis V.D. Vaše příležitosti, člověče!. - 4., revidováno. a doplňkové - Moskva: Poznání, 1984. - 272 s. - 200 000 výtisků.
• Robert Toquet "2 + 2 = 4" (1957) (anglické vydání: The Magic of Numbers (1960)).
• Technika počítání Sorokin A.S. M.: "Znalosti", 1976.
• Sukhorukova A.F. Větší pozornost ústním výpočtům. //Začít. škola - 1975.- č. 10. - str. 59-62.
• Curds VB Vizuální aritmetika a technologie rychlého počítání. M.: Kniha 1: Základy. "Librocom", 2011. - 208 s. ISBN 978-5-397-01928-6 .
• Faddeycheva T. I. Teaching Oral Computing // Základní škola. - 2003. - č. 10.
• Faermark D. S. "Úkol vyšel z obrázku." M.: "Věda".

Odkazy

• V. Pekelis. Zázračné pulty // Technika pro mládež , č. 7, 1974
• S. Trankovský. Ústní zpráva // Věda a život , č. 7, 2006.
• 1001 mentálních aritmetických úloh od S. A. Rachinského .
• Perelman Ya. I. Rychlé skóre. L., 1941, 12 s. (v knihovně Math.Ru)
• Trenažér orálního počítání .
• Řešení problému Rachinsky z obrazu „Mental Counting. V lidové škole S. A. Rachinského.
• Vizuální aritmetika
• Mobilní aplikace - simulátor pro ústní počítání