Dynamický systém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. června 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Dynamický systém je soubor prvků, pro které je specifikován funkční vztah mezi časem a polohou ve fázovém prostoru každého prvku systému. Tato matematická abstrakce vám umožňuje studovat a popisovat vývoj systémů v čase.

Stav dynamického systému v libovolném časovém okamžiku je popsán množinou reálných čísel (nebo vektorů) odpovídajících určitému bodu ve stavovém prostoru . Vývoj dynamického systému je určen deterministickou funkcí, to znamená, že po daném časovém intervalu systém nabude konkrétního stavu v závislosti na aktuálním.

Úvod

Dynamický systém je matematický model nějakého objektu, procesu nebo jevu, ve kterém jsou zanedbávány „fluktuace a všechny ostatní statistické jevy“. [jeden]

Dynamický systém může být také reprezentován jako stavový systém . Tímto přístupem dynamický systém popisuje (jako celek) dynamiku nějakého procesu, a to: proces přechodu systému z jednoho stavu do druhého. Fázový prostor systému je souhrn všech přípustných stavů dynamického systému. Dynamický systém je tedy charakterizován svým počátečním stavem a zákonem, podle kterého systém přechází z výchozího stavu do jiného.

Rozlišujte systémy s diskrétním časem a systémy se spojitým časem.

V systémech s diskrétním časem, tradičně nazývaným kaskády , je chování systému (nebo ekvivalentně trajektorie systému ve fázovém prostoru) popsáno sekvencí stavů. V systémech se spojitým časem, tradičně nazývaným toky , je stav systému definován pro každý bod v čase na skutečné nebo komplexní ose. Kaskády a toky jsou hlavním předmětem úvah v symbolické a topologické dynamice.

Dynamický systém (s diskrétním i spojitým časem) je často popisován autonomním systémem diferenciálních rovnic , daným v nějaké oblasti a splňujícím tam podmínky věty o existenci a jednoznačnosti řešení diferenciální rovnice. Rovnovážné polohy dynamického systému odpovídají singulárním bodům diferenciální rovnice a uzavřené fázové křivky odpovídají jejím periodickým řešením.

Hlavním obsahem teorie dynamických systémů je studium křivek definovaných diferenciálními rovnicemi . To zahrnuje rozdělení fázového prostoru na trajektorie a studium omezujícího chování těchto trajektorií: hledání a klasifikaci rovnovážných poloh, výběr přitahovacích ( atraktorů ) a odpuzujících ( repelery ) množin (manifoldů). Nejdůležitějšími pojmy teorie dynamických systémů jsou stabilita rovnovážných stavů (tj. schopnost systému s malými změnami počátečních podmínek setrvat libovolně dlouhou dobu v blízkosti rovnovážné polohy nebo na daném rozdělovači) a drsnosti (tj. zachování vlastností s malými změnami v samotném matematickém modelu; „ Hrubý systém je takový, jehož kvalitativní charakter pohybu se nemění při dostatečně malé změně parametrů. [2] [1]

Zapojení pravděpodobnostně-statistických reprezentací do ergodické teorie dynamických systémů vede ke konceptu dynamického systému s invariantní mírou .

Moderní teorie dynamických systémů je souhrnný název pro studia, kde se široce využívají a efektivně kombinují metody z různých odvětví matematiky: topologie a algebra, algebraická geometrie a teorie míry, teorie diferenciálních forem, teorie singularit a katastrof.

Metody teorie dynamických systémů jsou žádané i v dalších odvětvích přírodních věd, jako je nerovnovážná termodynamika , dynamická teorie chaosu , synergetika .

Definice

Dovolit být libovolný hladký různý . $X$

Dynamický systém definovaný na hladké varietě je zobrazení zapsané v parametrickém tvaru , kde , což je diferencovatelné zobrazení a je identické zobrazení prostoru . V případě stacionárních reverzibilních systémů tvoří rodina s jedním parametrem skupinu transformací topologického prostoru , což znamená, že zejména identita platí pro libovolné . $X$ $g\colon \mathbb {R} \times X\to X$ $g^{{t}}(x)$ $t\in \mathbb {R} ,x\in X$ $g^{0}$ $X$ $\{g^{t}:t\in \mathbb {R} \}$ $X$ $t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}$ $g^{{t_{1}}}\circ g^{{t_{2}}}=g^{{t_{1}+t_{2}}}$

Z diferencovatelnosti zobrazení vyplývá, že funkce je diferencovatelnou funkcí času, její graf se nachází v rozšířeném fázovém prostoru a nazývá se integrální trajektorie (křivka) dynamického systému. Jeho projekce do prostoru , který se nazývá fázový prostor , se nazývá fázová trajektorie (křivka) dynamického systému. $G$ $g^{{t}}(x_{0})$ $\mathbb {R} \times X$ $X$

Specifikace stacionárního dynamického systému je ekvivalentní rozdělení fázového prostoru na fázové trajektorie. Specifikace dynamického systému je obecně ekvivalentní rozdělení rozšířeného fázového prostoru na integrální trajektorie.

Změna souřadnic je difeomorfismus (pokud je struktura hladká) nebo homeomorfismus (z topologického hlediska) fázových prostorů. Je možné definovat množinu ekvivalence mezi dynamickými systémy, které jsou spojeny s různými třídami souřadnic. Problém struktury drah lze v tomto případě chápat jako problém klasifikace dynamických systémů až po vztahy ekvivalence.

Metody pro definování dynamických systémů

K definování dynamického systému je nutné popsat jeho fázový prostor , množinu časových bodů a nějaké pravidlo , které popisuje pohyb bodů ve fázovém prostoru s časem. Množinou časových okamžiků může být buď interval reálné čáry (pak se říká, že čas je spojitý ), nebo množina celých nebo přirozených čísel ( diskrétní čas ). Ve druhém případě je „pohyb“ bodu ve fázovém prostoru spíše jako okamžité „skoky“ z jednoho bodu do druhého: trajektorie takového systému není hladká křivka, ale jednoduše soubor bodů a obvykle se nazývá oběžná dráha . Navzdory vnějšímu rozdílu však existuje úzký vztah mezi systémy se spojitým a diskrétním časem: mnoho vlastností je společných těmto třídám systémů nebo se snadno přenáší z jednoho do druhého. $X$ $T$ $T$

Fázové toky

Nechť fázový prostor je vícerozměrný prostor nebo oblast v něm a čas je spojitý. Předpokládejme, že známe rychlost, jakou se každý bod fázového prostoru pohybuje. Jinými slovy, funkce vektoru rychlosti je známá . Potom trajektorie bodu bude řešením autonomní diferenciální rovnice s počáteční podmínkou . Takto definovaný dynamický systém se nazývá fázový tok pro autonomní diferenciální rovnici. $X$ $X$ $v(x)$ $x_{0}\v X$ ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$ $x(0)=x_{0}$

Kaskády

Nechť je libovolná množina a je nějaké mapování množiny na sebe. Zvažte iterace tohoto mapování, tedy výsledky jeho opakované aplikace na body ve fázovém prostoru. Definují dynamický systém s fázovým prostorem a mnoha časovými okamžiky . Ve skutečnosti budeme předpokládat, že libovolný bod přechází do bodu v čase . Potom se tento bod časem přesune do bodu a tak dále. $X$ $f\dvojtečka X\to X$ $X$ $X$ $T={\mathbb N}$ $x_{0}\v X$ $jeden$ $x_{1}=f(x_{0})\v X$ $2$ $x_{2}=f(x_{1})=f(f(x_{0}))$

Pokud je zobrazení reverzibilní, je možné definovat obrácené iterace : atd . Získáme tak systém s množinou časových bodů . $F$ $x_{{-1}}=f^{{-1}}(x_{0})$ $x_{{-2}}=f^{{-1}}(f^{{-1}}(x_{0}))$ $T={\mathbb Z}$

Příklady

Systém diferenciálních rovnic

{\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=v\\{\frac {dv}{dt}}=-kx\end{cases}}

definuje dynamický systém se spojitým časem, nazývaný "harmonický oscilátor". Jeho fázovým prostorem je rovina , kde je bodová rychlost . Harmonický oscilátor modeluje různé oscilační procesy, například chování zatížení pružiny. Jeho fázové křivky jsou elipsy se středem na nule. $(x,v)$ $proti$ $X$

Nechť je úhel určující polohu bodu na jednotkové kružnici. Mapování zdvojení definuje dynamický systém s diskrétním časem, jehož fázový prostor je kruh. $\varphi$ $f(\varphi )=2\varphi {\pmod {2\pi }}$
Rychle-pomalé systémy popisují procesy, které se vyvíjejí současně v několika časových měřítcích.
Dynamické systémy, jejichž rovnice lze získat pomocí principu nejmenší akce pro vhodně zvolený Lagrangian , jsou známé jako "Lagrangian dynamické systémy".

Otázky teorie dynamických systémů

Mít nějaký úkol dynamického systému, není zdaleka vždy možné najít a popsat jeho trajektorie v explicitní formě. Proto se obvykle zvažují jednodušší (ale neméně smysluplné) otázky týkající se obecného chování systému. Například:

Má systém uzavřené fázové křivky, to znamená, že se může v průběhu evoluce vrátit do původního stavu?
Jak jsou uspořádány invariantní variety systému (jejichž zvláštním případem jsou uzavřené trajektorie)?
Jak funguje atraktor systému, tedy množina ve fázovém prostoru, ke které tíhne „většina“ trajektorií?
Jak se chovají trajektorie vystřelené z blízkých bodů – zůstávají blízko nebo se časem vzdalují na značnou vzdálenost?
Co lze říci o chování „typického“ dynamického systému z určité třídy?
Co lze říci o chování dynamických systémů „blízkých“ danému?

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Andronov, 1981 , str. 18-19.
↑ Andronov, 1955 , str. 3-19.

Literatura

Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Teorie oscilací. - 2. vyd., přepracováno. a opraveno - M. : Nauka, 1981. - 918 s.
Na památku Alexandra Alexandroviče Andronova . - M .: Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1955.
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. , Podlazov A. V. Nelineární dynamika: přístupy, výsledky, naděje . — M .: URSS, 2006.
vyd. Anosov DV Hladké dynamické systémy. — M .: Mir, 1977. — 256 s.
Evlanov LG Řízení dynamických systémů. - M. : Nauka, 1972. - 423 s. - 4800 výtisků.
Birkhoff J. Dynamické systémy. - M. : OGIZ, 1999. - 480 s. - 3500 výtisků. — ISBN 5-7029-0356-0 .

Gukenheimer J., Holmes F. Nelineární oscilace, dynamické systémy a bifurkace vektorových polí - 2002. - 560 s. — ISBN 5-93972-200-8 .

Palis J., di Melu V. Geometrická teorie dynamických systémů: Úvod. - Mir, 1986. - 301 s.
Šest přednášek z teorie nelineárních dynamických systémů / N.V. Karlov , N.A. Kirichenko . MIPT, [1998?]. - 178 str. : nemocný.; 30 cm; ISBN 5-7417-0096-9

Odkazy

Weisstein, Eric W. Dynamical Systems (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .