Fibonacciho hromada
Fibonacciho halda ( angl. Fibonacci halda ) je datová struktura , která je množinou stromů uspořádaných v souladu s vlastností neklesající pyramidy. Fibonacciho haldy představili Michael Fredman a Robert Tarjan v roce 1984 .
Struktura je implementací abstraktního datového typu " Prioritní fronta " a je pozoruhodná tím, že operace, které nevyžadují odstranění, mají amortizovanou dobu běhu (u binární haldy a binomické haldy je amortizovaná doba běhu ). Kromě standardních operací , , , Fibonacci halda umožňuje provést operaci sloučení dvou hald v čase. INSERTMINDECREASE-KEYUNION
Struktura
- Fibonacciho halda je sbírka stromů .
- Každý strom v podléhá vlastnosti heap ( angl. min-heap property ): klíč každého uzlu není menší než klíč jeho nadřazeného uzlu.
- Každý uzel v obsahuje následující ukazatele a pole:
- - pole, ve kterém je klíč uložen;
- — ukazatel na nadřazený uzel;
- — ukazatel na jeden z podřízených uzlů;
- - ukazatel na levý sesterský uzel;
- - ukazatel na pravý sesterský uzel;
- - pole, které ukládá počet podřízených uzlů;
- — booleovská hodnota, která označuje, zda uzel ztratil nějaké podřízené uzly od doby, kdy se stal podřízeným uzlem nějakého jiného uzlu.
- Podřízené uzly jsou kombinovány pomocí ukazatelů do jednoho cyklického dvojitě propojeného seznamu podřízených uzlů ( angl. child list ) .
- Kořeny všech stromů v jsou spojeny pomocí ukazatelů a do cyklického dvojitě propojeného seznamu kořenů ( angl. root list ).
- Pro celou Fibonacciho haldu je také uložen ukazatel na uzel s minimálním klíčem , který je kořenem jednoho ze stromů. Tento uzel se nazývá minimální uzel .
- Aktuální počet uzlů v je uložen v .
![{\displaystyle key[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b36173e5d88ef517878d66a8682fab5bdbabbd)
![{\displaystyle p[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b81272b44de4208e118d4381df4c6828cb52da8)
![{\displaystyle child[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7983ae8a15176fca40c69829753ebff7acd09cd)
![{\displaystyle left[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa7823fa23979d95eb14ab7667a573c22e01b7a)
![{\displaystyle right[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d488d953d9ad638c15d2594ab597b5e653f15e)
![{\displaystyle stupeň[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbb4e65cbfec576877633e2ad6ceaaaae241696)
![{\displaystyle mark[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542b7e5368647a254202d3b202a71c2df4bf1954)
![{\displaystyle min[H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c75b5f06b71957bc80e0c4e56425cdf8f30b07)
![{\displaystyle n[H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ed2faefa5bfbe5a8314ec6f2b3b1ca9bc406c7)
Operace
Vytváření nové Fibonacciho haldy
Procedura Make_Fib_Heap vrací objekt haldy Fibonacci a = NULL. Nejsou tam žádné stromy .
![{\displaystyle n[H]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6755b0e87ac6248f20059f3300df0f6cb90f896)
Zůstatková cena postupu se rovná jeho skutečným nákladům .
Vložení uzlu
Fib_Heap_Insert 1 ← 0 2 ← NULL 3 ← NULL 4 ← 5 ← 6 ← NEPRAVDA 7 Připojení seznamu kořenů obsahujících , k seznamu kořenů 8 if = NULL nebo 9 pak ← 10 ← + 1
![{\displaystyle key[x]<key[min[H]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678e72a132e9ae0bbee03a96ad87372a80588594)
Zůstatková cena postupu se rovná jeho skutečným nákladům .
Nalezení minimálního uzlu
Procedura Fib_Heap_Minimum vrací .
Zůstatková cena postupu se rovná jeho skutečným nákladům .
Spojení dvou Fibonacciho hald
Fib_Heap_Union 1 ← Make_Fib_Heap() 2 ← 3 Přidání seznamu kořenů do seznamu kořenů 4 pokud ( = NULL) nebo ( ≠ NULL a < ) 5 pak ← 6 ← 7 Uvolněte předměty a 8 se vraťte
![{\displaystyle min[H_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06be73dfdc2ebd7713d3a946a91127d751c86dd)
![{\displaystyle min[H_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4c15d462e9bc769e328ba3b93711b75d21de68)
![{\displaystyle key[min[H_{2}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd38f11d72e5ef38a1dba12f4131e25d75e72ccf)
![{\displaystyle key[min[H_{1}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f66202f4a1f1ef6be319ab0caa46a70aa702da)
![{\displaystyle n[H_{1}]+n[H_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e121253884bf636242ef97daaf19c6dffa47226e)
Zůstatková cena postupu se rovná jeho skutečným nákladům .
Extrahování minimálního uzlu
Fib_Heap_Extract_Min 1 ← 2 , pokud ≠ NULL 3 pak pro každého potomka uzlu 4 proveďte Přidat do kořenového seznamu 5 ← NULL 6 Odebrat z kořenového seznamu 7 if = 8 pak ← NULL 9 jinak ← 10 Konsolidovat 11 ← 12 vrátit
![{\displaystyle right[z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6c0ca5e045f05b51a8e85a71a2652179a28f23)
![{\displaystyle n[H]-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed2c368ce89423e341bd76679b6a7a18e720e17)
V jedné z fází operace vytěžování minimálního uzlu se provádí zhutnění ( angl. konsolidace ) seznamu kořenů . K tomu použijte pomocný postup Consolidate. Tento postup používá pomocné pole . If , then je aktuálně kořen se stupněm .
Konsolidujte 1 pro ← 0 až 2 do ← NULL 3 pro každý uzel v kořenovém seznamu 4 proveďte ← 5 ← 6 , zatímco ≠ NULL 7 do ← //Uzel se stejným stupněm jako 8 , pokud 9 , pak vyměňte ↔ 10 Fib_Heap_Link 11 ← NULL 12 ← 13 ← 14 ← NULL 15 pro ← 0 až 16 proveďte, pokud ≠ NULL 17 pak Přidat do kořenového seznamu 18 if = NULL nebo 19 pak ← Fib_Heap_Link 1 Odebrat z kořenového seznamu 2 Vytvořit podřízený uzel , přírůstek 3 ← FALSE![{\displaystyle A[0..D[n[H]]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a8aaf0c3fea41669e247dae3c99739997608c7)
![{\displaystyle A[i]=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1773ac5c49b3da8c9e09a416b77c6fe80c7a307)
![{\displaystyle degree[y]=i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd44fdeab4b5b858a4e9e6d2c45ffcdcf96af6fc)
![{\displaystyle D(n[H])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6561060baee3b079d50a46f93444ab97506a9f5)
![{\displaystyle A[i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0d7a8a3371fad84f7032042e8d1e1caf6aa15e)
![{\displaystyle A[d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042feac7bdbe07a6252a95c7129cd511404b28ff)
![{\displaystyle key[x]>key[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c4916c2e2b340131b0a221ca3590ecf2f98357)
![{\displaystyle key[A[i]]<key[min[H]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a421f33d981dab3125f64324a79d34de6ae8f4)
![{\displaystyle mark[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecc871ae5dc12bfc3206f13c2a545fcd974bae4)
Amortizované náklady na extrakci minimálního uzlu jsou .
Klesající klíč
Fib_Heap_Decrease_Key 1 , pokud 2 , pak chyba "Nový klíč je větší než aktuální" 3 ← 4 ← 5 pokud ≠ NULL a 6 pak Vyjmout 7 Cascading_Cut 8 , pokud 9 pak ← Vyjmout 1 Odebrat ze seznamu podřízených uzlů , zmenšit 2 Přidat do seznamu kořenů 3 ← NULL 4 ← NEPRAVDA Cascading_Cut 1 ← 2 , pokud ≠ NULL 3 pak if = FALSE 4 pak ← TRUE 5 else Cut 6 Cascading_Cut
![{\displaystyle k>klávesa[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce139201a27c8a99d5bc6e6b21ccff58421d5225)
![{\displaystyle key[x]<key[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b19c276ef004ee01d9243b7dae5ca4d3550d9b6)
![{\displaystyle degree[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84c755349b58d4dbdf25eee53cabead167a765c)
![{\displaystyle p[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c4860ad95bb383f9e80c71fb26ef7e3c706f92)
Amortizované náklady na snížení klíče nepřesahují .
Smazání uzlu
Fib_Heap_Delete 1 Fib_Heap_Decrease_Key ∞ 2 Fib_Heap_Extract_Min
Amortizovaná doba trvání postupu je .
Viz také
Odkazy
- Implementace struktury v C
- Vladimir Alekseev, Vladimir Talanov, Přednáška 7: Binomické a Fibonacciho haldy // "Datové struktury a výpočetní modely", 26.09.2006, intuit.ru
Literatura
- Thomas H. Kormen aj. Algoritmy: konstrukce a analýza. - 2. vyd. - M . : Williams Publishing House , 2007. - S. 1296. - ISBN 5-8459-0857-4 .
- Mehlhorn, Kurt, Sanders, Peter. 6.2.2 Fibonacciho haldy // Algoritmy a datové struktury: Základní sada nástrojů. - Springer, 2008. - 300 s. — ISBN 978-3-540-77978-0 .