Kirchhoffův vzorec

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. ledna 2021; kontroly vyžadují 13 úprav .

Kirchhoffův vzorec je analytický výraz pro řešení hyperbolické parciální diferenciální rovnice (tzv. "vlnová rovnice") v celém trojrozměrném prostoru. Sestupnou metodou (tj. snížením rozměrů) z ní lze získat řešení dvourozměrných ( Poissonův vzorec ) a jednorozměrných ( D'Alembertův vzorec ) rovnic.

Úplné znění problému a odpovědi

Zvažte rovnici

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}\triangle u=f

, kde funkce a jsou definovány na , a je Laplaceův operátor .

u=u(\mathbf {x} ,t)

f=f(\mathbf {x} ,t)

{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n} \times \mathbb {R} ^{+))

\trojúhelník

Tato rovnice definuje šíření postupné vlny v- dimenzionálním homogenním prostředí s určitou rychlostí . $n$ $A$ $t>0$

Aby bylo řešení jednoznačné, je nutné stanovit výchozí podmínky. Počáteční podmínky určují stav prostoru (nebo, říkají, "počáteční porucha") v okamžiku času : $t=0$

u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x))),\quad \left.{\frac {\partial u}{\partial t))\right| _{t=0}=\varphi _{1}({\bar {x)))

Pak zobecněný Kirchhoffův vzorec poskytuje řešení tohoto problému v trojrozměrném případě:

u(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial }{\partial t))\left[{\frac {1}{4\pi a^{2}t))\iint \limits _{S}\varphi _{0}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}\right]+{\frac {1}{4\pi a^{2}t)) \iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2))}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y }

kde jsou povrchové integrály převzaty přes kouli . $S\colon \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=at$

Sám Kirchhoff zvažoval pouze trojrozměrný případ.

Jednoduché odvození řešení hlavního problému využívá Fourierovu transformaci .

Fyzické následky

Nechť je lokální porucha ( a/nebo ) na nějaké kompaktní množině v počátečním časovém okamžiku . Pokud jsme v určitém bodě , pak, jak je vidět ze vzorce (integrační oblast), po čase pocítíme poruchu . $t=0$ $M$ $\varphi _{0}\neq 0$ $\varphi _{1}\neq 0$ ${\bar {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{3}$ $t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$

Mimo časový interval , kde je funkce rovna nule. $\left[t_{1};t_{2}\right]$ $t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$ $u(x_{0},t)$

Počáteční porucha, lokalizovaná v prostoru, tedy způsobí v každém bodě prostoru akci lokalizovanou v čase, to znamená, že porucha se šíří ve formě vlny s přední a zadní frontou, což vyjadřuje Huygensův princip ). V letadle je tato zásada porušena. Důvodem je skutečnost, že nositel poruchy, který je kompaktní při , již nebude kompaktní při , ale bude tvořit nekonečný válec a v důsledku toho bude porucha časově neomezená (válcové vlny nemají žádnou zadní hranu) . [jeden] $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Poisson - Parsevalův vzorec

Řešení rovnice kmitání membrány (dvourozměrný prostor)

u_{tt}=a^{2}\triangle u+f

(funkce odpovídá hnací vnější síle)

f(x,t)

s počátečními podmínkami

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

dáno vzorcem:

u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits _{ 0}^{t}\iint \limits _{r<a(t-\tau )}{\frac {f(y_{1},y_{2},\tau )dy_{1}dy_{2}d \tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2}) ^{2))))+{\frac {\partial }{\partial t)){\frac {1}{2\pi a))\iint \limits _{r<at}{\frac {\varphi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2} -(y_{2}-x_{2})^{2))))+{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\psi ( y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}- (y_{2}-x_{2})^{2}}}}

D'Alembertův vzorec

Řešení jednorozměrné vlnové rovnice

u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f\quad

(funkce odpovídá hnací vnější síle)

f(x,t)

s počátečními podmínkami

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

má tvar [2]

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _ {x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _ {xa(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau

Při použití d'Alembertova vzorce je třeba vzít v úvahu, že někdy řešení nemusí být jedinečné v celé posuzované oblasti . Řešení vlnové rovnice je reprezentováno jako součet dvou funkcí: , to znamená, že je určeno dvěma rodinami charakteristik: . Příklad zobrazený na obrázku vpravo ilustruje vlnovou rovnici pro polonekonečnou strunu a počáteční podmínky v ní jsou uvedeny pouze na zelené čáře . Je vidět, že jak -charakteristiky, tak -charakteristiky přicházejí do domény , zatímco v doméně jsou pouze -charakteristiky. To znamená, že d'Alembertův vzorec v regionu nefunguje. $\mathbb {R} ^{1}\times [0,T]$ $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$ $x+at=\xi ,\ x-at=\eta$ $x\ge 0$ $\mathrm {I}$ $\xi$ $\eta$ $\mathrm {II}$ $\xi$ $\mathrm {II}$

Aplikace vzorců

Obecně je Kirchhoffův vzorec značně těžkopádný, a proto je řešení úloh matematické fyziky s jeho pomocí obvykle obtížné. Lze však použít linearitu vlnové rovnice s počátečními podmínkami a hledat řešení v podobě součtu tří funkcí: , které splňují následující podmínky: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangle u+f({\bar {x)),t)$ $u({\bar {x)),0)=\varphi _{0}({\bar {x)),\ u_{t}({\bar {x)),0)=\ varphi _{1}({\bar {x)))$ $u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)$

{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangle A+f({\bar {x)),t),\qquad A({\bar {x)),0)=0,\ A_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2))}=a^{2}\trojúhelník B,\qquad B({\bar {x)),0)= \varphi _{0}({\bar {x)),\ B_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangle C,\qquad C({\bar {x)),0)= 0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).

Taková operace sama o sobě nezjednodušuje použití Kirchhoffova vzorce, ale pro některé problémy je možné zvolit řešení, nebo změnou proměnných redukovat vícerozměrný problém na jednorozměrný. Například ať . Poté po nahrazení bude mít rovnice pro problém "C" tvar: ${\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2))))$ $\xi =x+3y-2z$

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=14a^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \xi ^{ 2}}),\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2} }}.

Došli jsme tedy k jednorozměrné rovnici, což znamená, že můžeme použít d'Alembertův vzorec:

C(\xi ,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}at}^{\ xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\ left(\operatorname {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}at)-\operatorname {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}at)\right).

Díky paritě výchozí podmínky si řešení zachová svou podobu v celém regionu . $t>0$

Poznámky

↑ KIRCHHOFF FORMULA // Fyzická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie (sv. 1-2); Velká ruská encyklopedie (sv. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ D'Alembertův vzorec Archivováno 20. března 2012 na Wayback Machine v Encyclopedia of Physics

Literatura

Michajlov V.P. , Michajlova T.V., Shabunin M.I. Sbírka typických úloh pro kurz Rovnice matematické fyziky. — M.: MIPT, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6 .

Odkazy

Část o d'Alembertově vzorci