Rodrigueův rotační vzorec

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. dubna 2020; kontroly vyžadují 10 úprav .

Rodriguesův rotační vzorec je vzorec , který spojuje dva vektory se společným počátkem, z nichž jeden se získá otočením druhého o známý úhel kolem osy procházející jejich společným počátkem:

{\vec {R}}_{2}-\tan(\chi /2)[{\vec {e}}\times {\vec {R}}_{2}]={\vec { R}}_{1}+\tan(\chi /2)[{\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}]

kde je počáteční vektor, je výsledný vektor, je jednotkový vektor osy rotace, je úhel rotace. Vzorec lze také zapsat jako: ${\vec {R}}_{1}$ ${\vec {R}}_{2}$ $\vec{e}$ $\chi$

{\vec {R}}_{2}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1})(1-\cos \chi ){\vec {e }}+({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +{\vec {R}}_{1}\cdot \cos \chi

Základy vektorové teorie konečných rotací a sčítání rotací . Obdržel O. Rodrigues v roce 1840 [1]

Závěr

Bez ztráty obecnosti nasměrujeme osu podél jednotkového vektoru a vektor leží v rovině OXZ, pak: ${\vec {z))$ $\vec{e}$ ${\vec {R}}_{1}$

{\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{1z}

{\vec {R}}_{1y}=0

{\vec {R}}_{1z}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}

Kde:

{\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){ \vec{e}}

Nastavíme vektor rovný: $\vec{w}$

{\vec {w}}={\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}

Všimněte si, že:

|{\vec {w}}|=|{\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}|=|{\vec {e}}|\,|{\ vec {R}}_{1}|\sin \phi \ =|{\vec {R}}_{1}|\sin \phi

|{\vec {R}}_{1x}|=|{\vec {R}}_{1}|\cos(\pi /2-\phi )=|{\vec {R}} _{1}|\sin \phi .

Potom lze vektor vyjádřit pomocí vektorů a úhlu : ${\vec {R}}_{2x}$ $\vec{w}$ ${\vec {R}}_{1x}$ $\chi$

{\vec {R}}_{2x}={\vec {R}}_{1x}\cos \chi +{\vec {w}}\sin \chi =({\vec {R} }_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\ krát {\vec {R}}_{1})\sin \chi

Výsledný vektor je vyjádřen pomocí vektorů a : ${\vec {R}}_{2}$ ${\vec {R}}_{2x}$ ${\vec {R}}_{1z}$

{\vec {R}}_{2}={\vec {R}}_{2x}+{\vec {R}}_{1z}=({\vec {R}}_{1 }-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}

Přineseme-li podobné, získáme Rodriguesův rotační vzorec:

{\vec {R}}_{2}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1})(1-\cos \chi ){\vec {e }}+({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +{\vec {R}}_{1}\cdot \cos \chi

V maticové formě

Násobení vektoru vektorem k lze reprezentovat jako násobení maticí K :

\mathbf {k} \times \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z }-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end {bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}=\mathbf {K} \mathbf {v} \,.

Vektor v , když se otočí kolem jednotkového vektoru k , přejde do vektoru

\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {R} \mathbf {v} \,,

kde $\mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \ krát \mathbf {v} )\,.$

Ukazuje se tedy, že matice rotace kolem jednotkového vektoru k o úhel $\theta$

\mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}~.

kde

\mathbf {K} =\left[{\begin{array}{ccc}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y} &k_{x}&0\end{array}}\right]~.

Poznámky

↑ Rodrigues, 1840 , str. 380-440.

Literatura

Lur'e A. I. Analytická mechanika. - M. : Fizmatgiz, 1961. - 824 s. - S. 101-103.
Rodrigues O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'une système solide dans l'espace et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des příčiny qui // Liouuvillés produire Matematika.. - 1840. - Sv. 5. - S. 380-440.