Funktor Hom

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. prosince 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V teorii kategorií umožňují Homovy množiny (tj. množiny morfismů mezi dvěma objekty) definovat důležité funktory v kategorii množin . Tyto funktory se nazývají Hom functors a mají četné aplikace v teorii kategorií a dalších oblastech matematiky.

Definice

Nechť C je lokálně malá kategorie . Pak pro kterýkoli z jeho objektů A , B jsou definovány následující dva funktory:

Hom( A ,-) : C → Nastavit	Hom(-, B ): C → Nastavit
Toto je kovariantní funktor definovaný takto: Hom( A ,-) mapuje každý objekt X kategorie C na množinu morfismů Hom( A , X ) Hom( A ,-) mapuje každý morfismus f : X → Y do funkce Hom( A , f ): Hom ( A , X ) → Hom ( A , Y ) zadáno jako $g\mapsto f\circ g$ pro každé g v Hom( A , X ).	Toto je kontravariantní funktor definovaný takto: Hom(-, B ) mapuje každý objekt X kategorie C na množinu morfismů Hom( X , B ) Hom(-, B ) mapuje každý morfismus h : X → Y do funkce Hom( h , B ): Hom ( Y , B ) → Hom ( X , B ) dané $g\mapto g\circ h$ pro každé g v Hom( Y , B ).

Funktor Hom(-, B ) se také nazývá bodový funktor objektu B .

Je také možné definovat bifunktor Hom(-,-) z C × C na Set , který je kontravariantní v prvním argumentu a kovariantní ve druhém. Nebo ekvivalentně funktor

Hom(-,-) : C op × C → Nastavit

kde C op je duální kategorie C .

Vnitřní funktor Hom

V některých kategoriích je možné definovat funktor, který je podobný funktoru Hom, ale jehož hodnoty leží v kategorii samotné. Takový funktor se nazývá vnitřní funktor Hom a označuje se

{\text{hom}}(-,-):C^{{op}}\krát C\to C

Kategorie, které umožňují vnitřní funktor Hom, se nazývají uzavřené kategorie . Protože v uzavřené kategorii (zde jsem jednotkou uzavřené kategorie), lze to přepsat jako $A\cong hom(I,A)$

{\text{Hom}}(já,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)

V případě uzavřené monoidní kategorie to lze rozšířit na tzv. currying , tedy izomorfismus

{\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)

kde je . $Y\Rightarrow Z$ ${\text{hom}}(Y,Z)$

Související definice

Funktor tvaru Hom(-, C) : C op → Set je presheaf ; podle toho lze Hom(C, -) nazvat copresheaf.
Funktor F : C → Přirozeně izomorfní množina s Hom (X, -) pro nějaký objekt C se nazývá reprezentovatelný funktor .
Hom(-, -) : C op × C → Set je profuktor , jmenovitě profuktor identity . ${\text{id}}_{C}\dvojtečka C\nšipka doprava C$
Vnitřní funktor Hom zachovává limity ; jmenovitě bere limity k limitům a limity k limitům. V jistém smyslu to lze považovat za definici limity nebo kolimity. ${\text{hom}}(X,-):C\to C$ ${\text{hom}}(-,X):C^{{\text{op}}}\to C$
Funktor Hom je příkladem levého exaktního funktoru.

Viz také

Poznámky

S. McLane. Kategorie pro pracujícího matematika, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Goldblatt, R. Topoi. Kategorická analýza logiky, - M. : Mir, 1983. - 487 s.
Nathan Jacobson . Základní algebra (neurčitá) . — 2. - Dover, 2009. - Svazek 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .