Mathieu funkce

Mathieuovy funkce jsou matematické speciální funkce , které jsou periodickým řešením Mathieuovy rovnice. Používají se při řešení různých problémů matematické fyziky , zejména při popisu vlnění s eliptickými okrajovými podmínkami, při studiu fenoménu parametrické rezonance , při studiu nelineárních kmitů v různých oblastech teoretické a experimentální fyziky atd.

Mathieuova rovnice

Mathieuova rovnice je diferenciální rovnice tvaru (kanonický tvar):

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0,

kde a jsou parametry, na kterých závisí chování řešení (stabilní nebo nestabilní), tuto závislost ilustruje Ains-Struttův diagram . $A$ $q$

Řešení Mathieuovy rovnice

Podle Floquetovy věty existují vždy řešení Mathieuovy rovnice ve tvaru: , kde má tečku . Tato řešení jsou periodická s tečkou a nazývají se Mathieuovy funkce . Jsou označeny jako: . Mathieuovy funkce mohou být reprezentovány jako součty kosinů nebo sinů: kde veličiny jsou funkcemi veličin v Mathieuově rovnici. Hodnoty lze získat dosazením řešení Mathieuovy rovnice ve formě rozšíření Fourierovy řady do rovnice a přirovnáním podobných členů. $y(x)=\exp(\mu x)\phi (x)$ $\phi (x)$ $2\pi$ $\mu=0$ $2\pi$ $\mathrm {ce} _{0}(x),\mathrm {ce} _{1}(x),\mathrm {se} _{1}(x),\mathrm {ce} _{2 }(x),\mathrm {se} _{2}(x),...$ $\mathrm {ce} _{2n}(x)=\součet _{k}A_{k}\cos 2kx,\mathrm {ce} _{2n+1}(x)=\součet _{k }B_{k}\cos(2k+1)x,\mathrm {se} _{2n}(x)=\součet _{k}C_{k}\sin 2kx,\mathrm {se} _{2n+ 1 }(x)=\součet _{k}D_{k}\sin(2k+1)x,$ $A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$ $a,q$ $A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$

Viz také

Hillova rovnice

Literatura

Matthews J., Walker R. Matematické metody ve fyzice. Za. z angličtiny, M., Atomizdat , 1972, 392 stran.
Mathieuova rovnice , EqWorld