Lommelova funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. února 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Lommelova funkce je neelementární funkce, která je konkrétním řešením nehomogenní Besselovy rovnice :

{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})f=z^{\mu +1))

Zavedl německý matematik Eigen von Lommel [1] [2] .

Integrální vyjádření Lommelovy funkce:

{\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {\pi }{2}}\left(N_{\nu }(x)\cdot \int _{ 0}^{x}J_{\nu }(t)\cdot t^{\mu }dt-J_{\nu }(x)\cdot \int _{0}^{x}N_{\nu }( t)\cdot t^{\mu }dt\right)

kde je Besselova funkce ; je Neumannova funkce . $J_{\nu }(x)$ $N_{\nu }(x)$

Rozšíření Lommelovy funkce v řadě:

{\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {x^{\mu }}{4}}\sum _{k=0}^{\infty } {\frac {(-1)^{k}\cdot \left({\frac {x}{2}}\right)^{2k}}{\left({\frac {\mu +\nu }{ 2}}\right)_{k+1}\cdot \left({\frac {\mu -\nu }{2}}\right)_{k+1}}}

kde je symbol Pochhammer . ${\displaystyle \left(a\right)_{k))$

Poznámky

↑ Lommel, E. Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function (německy) // Mathematische Annalen . - 1875. - Bd. 9 , č. 3 . — S. 425–444 . (nedostupný odkaz)
↑ Lommel, E. Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV (německy) // Mathematische Annalen. - 1880. - Bd. 16 , č. 2 . — S. 183–208 . (nedostupný odkaz)

Literatura

"Lommelova funkce" - článek z Encyklopedie matematiky

Odkazy

Weisstein, Eric W. Lommel Function (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .