Částečná geometrie

Nechť existuje incidenční struktura sestávající z bodů , čar a vlajek . O bodu se říká, že je incidentní s přímkou , jestliže . Struktura se nazývá konečná částečná geometrie , pokud existují celá čísla taková, že: $C=(P,L,I)$ $P$ $L$ $I\subseteq P\times L$ $p$ $l$ $(p,l)\v I$ $s,t,\alpha \geq 1$

Pro libovolnou dvojici různých bodů existuje nejvýše jedna přímka spadající do obou bodů . $p$ $q$
Každá čára je incidentní do určitého bodu. $s+1$
Každý bod je incidentní s čarami. $t+1$
Pokud bod a přímka nejsou incidentní, pak existují přesně takové dvojice , které jsou incidentní s a jsou incidentní s . $p$ $l$ $\alpha$ $(q,m)\in I$ $p$ $m$ $q$ $l$

Částečná geometrie s těmito parametry je označena . $pg(s,t,\alpha )$

Vlastnosti

Počet bodů je dán vzorcem a počet řádků je dán vzorcem . ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha ))$
Bodový graf [1] struktury je silně pravidelný graf : . $pg(s,t,\alpha )$ $srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha )),s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+ jedna ))$
Částečné geometrie jsou duální - duální struktura je prostě struktura . $pg(s,t,\alpha )$ $pg(t,s,\alpha )$

Speciální případy

Zobecněné čtyřúhelníky jsou přesně dílčí geometrie s . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha=1$
Steinerovy systémy jsou přesně dílčí geometrie s . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha =s+1$

Zobecnění

Částečně lineární prostor řádu se nazývá semi-částečná geometrie, pokud existují celá čísla taková, že: $S=(P,L,I)$ $s,t$ $\alpha \geq 1,\mu$

Pokud bod a přímka nejsou incidentní, pak existují buď nebo přesně takové dvojice , které jsou incidentní a jsou incidentní . $p$ $\ell$ $0$ $\alpha$ $(q,m)\in I$ $p$ $m$ $q$ $\ell$
Každá dvojice nekolineárních bodů má přesně společné sousedy. $\mu$

Poločástečná geometrie je částečná geometrie tehdy a pouze tehdy, když . $\mu =\alpha (t+1)$

Je snadné ukázat, že graf kolinearity [1] takové geometrie je přísně regulární s parametry . $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1) ,\mu )$

Dobrý příklad takové geometrie je získán tím, že vezmeme afinní body a pouze ty přímky, které protínají rovinu v nekonečnu v bodě v pevné Baerově podrovině. Geometrie má parametry . $PG(3,q^{2})$ $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$

Poznámky

↑ 1 2 Je -li dána částečná geometrie P , ve které libovolné dva body definují nejvýše jednu přímku, je grafem kolinearity nebo bodovým grafem geometrie P graf, jehož vrcholy jsou body P a dva vrcholy jsou spojeny hranou právě tehdy pokud definují čáru v P. _

Literatura

Brouwer AE, van Lint JH Silně pravidelné grafy a částečné geometrie // Výčet a návrh / Jackson DM, Vanstone SA. Toronto: Academic Press, 1984. s. 85–122.
Bose RC Silně pravidelné grafy, částečné geometrie a částečně vyvážené návrhy // Pacific J. Math. - 1963. - T. 13 . — S. 389–419 .
De Clerck F., Van Maldeghem H. Některé třídy geometrií stupně 2 // Handbook of Incidence Geometry. - Amsterdam: North-Holland, 1995. - S. 433-475.
Thas JA Částečné geometrie // Příručka kombinačních návrhů / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H.. - 2. — Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007. — s. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8 .
Debroey I., Thas JA O semipartiálních geometriích // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. - 1978. - T. 25 . — S. 242–250 .