Zobecněný čtyřúhelník

Zobecněný čtyřúhelník je incidenční struktura , jejíž hlavní vlastností je absence trojúhelníků (struktura však obsahuje mnoho čtyřúhelníků). Zobecněný čtyřúhelník je podle definice polární prostor úrovně dva. Zobecněné čtyřúhelníky jsou zobecněné mnohoúhelníky s n = 4 a téměř 2n-úhelníky s n = 2. Jsou to také přesně parciální geometrie pg( s , t ,α) s α = 1.

Definice

Zobecněný čtyřúhelník je incidenční struktura ( P , B , I), kde je incidenční vztah , který splňuje určité axiomy . Prvky P jsou podle definice vrcholy (body) zobecněného čtyřúhelníku, prvky B jsou přímky . Axiomy jsou: $\mathrm {I} \subseteq P\times B$

Existuje číslo s ( s ≥ 1) takové, že na libovolné přímce je přesně s + 1 bodů. Na dvou různých čarách je nejvýše jeden bod.
Existuje číslo t ( t ≥ 1) takové, že kterýmkoli bodem prochází přesně t + 1 čar . Dvěma různými body vede nejvýše jedna čára.
Pro každý bod p , který neleží na přímce L , existuje jednoznačná přímka M a jednoznačný bod q takový, že p leží na M a q leží na M a L.

Dvojice čísel ( s , t ) jsou parametry zobecněného čtyřúhelníku. Možnosti mohou být nekonečné. Pokud je buď číslo s nebo t rovno jedné, zobecněný čtyřúhelník se nazývá triviální . Například mřížka 3x3 s P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} a B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} je triviální zobecněný čtyřúhelník s s = 2 a t = 1. Zobecněný čtyřúhelník s parametry ( s , t ) se často označuje jako GQ( s , t ) (z anglického G eneralized Q uadrangle).

Nejmenší netriviální zobecněný čtyřúhelník je GQ(2,2) , jehož zobrazení Stan Payne v roce 1973 nazval „ubrousek“.

Vlastnosti

$|P|=(st+1)(s+1)$
$|B|=(st+1)(t+1)$
$(s+t)|st(s+1)(t+1)$
${\displaystyle s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2))$
${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2))$

Earls

Existují dva zajímavé grafy, které lze získat ze zobecněného čtyřúhelníku.

Kolineární graf obsahující všechny body zobecněného čtyřúhelníku jako vrcholy, ve kterých jsou kolineární body spojeny hranou. Tento graf je silně regulární graf s parametry ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), kde (s,t) je řád čtyřúhelníku.
Graf výskytu , jehož vrcholy jsou všechny body a přímky zobecněného čtyřúhelníku a dva vrcholy sousedí, pokud jeden vrchol odpovídá přímce a druhý bodu na této přímce. Graf výskytu zobecněného čtyřúhelníku je propojený a jedná se o bipartitní graf s průměrem čtyři a obvodem osm. Zobecněný čtyřúhelník je tedy příkladem buňky . Incidenční grafy konfigurací se v současnosti nazývají Levyho grafy , avšak původní Levyho graf byl incidenční graf zobecněného čtyřúhelníku GQ(2,2).

Dualita

Jestliže ( P , B ,I) je zobecněný čtyřúhelník s parametry ( s , t ), pak ( B , P ,I −1 ) je také zobecněný čtyřúhelník (zde I −1 znamená inverzní vztah dopadu). Tento čtyřúhelník se nazývá duální zobecněný čtyřúhelník . Jeho parametry budou dvojice ( t , s ). I pro s = t není duální struktura nutně izomorfní s původní strukturou.

Zobecněné čtyřúhelníky s čárou velikosti 3

Existuje přesně pět (povolených degenerovaných) zobecněných čtyřúhelníků, ve kterých má každá úsečka tři body, které k ní přiléhají

čtyřúhelník s prázdnou sadou čar
čtyřúhelník, ve kterém všechny přímky procházejí pevným bodem, který odpovídá větrnému mlýnu Wd(3,n)
mřížka 3x3
čtyřúhelník W(2)
zobecněný čtyřúhelník GQ(2,4)

Těchto pět čtyřúhelníků odpovídá pěti kořenovým systémům ve třídách ADE A n , D n , E 6 , E 7 a E 8 , tzn. jednovláknové kořenové systémy (to znamená, že prvky v Dynkinových diagramech nemají více vazeb) [1] [2] .

Klasické zobecněné čtyřúhelníky

Pokud vezmeme v úvahu různé druhy polárních prostorů úrovně alespoň tři a extrapolujeme je na úroveň 2, můžeme najít tyto (konečné) zobecněné čtyřúhelníky:

Hyperbolická plocha druhého řádu (kvadrika) , parabolická kvadrika a eliptická kvadrika jsou jediné možné kvadriky v projektivních prostorech nad konečnými poli s projektivním indexem 1. Parametry těchto kvadrik jsou: $Q^{+}(3,q)$ $Q(4,q)$ $Q^{-}(5,q)$

Q(3,q):\ s=q,t=1

(je to jen mřížka)

Q(4,q):\ s=q,t=q

{\displaystyle Q(5,q):\ s=q,t=q^{2))

Hermitova varieta má projektivní index 1 právě tehdy, když n je 3 nebo 4. Máme: $H(n,q^{2})$

H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q

{\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3))

Symplektická polarita v má maximální izotropní podprostor dimenze 1 právě tehdy, když . Zde máme zobecněný čtyřúhelník s parametry . $PG(2d+1,q)$ $d=1$ $W(3,q)$ $s=q,t=q$

Zobecněný čtyřúhelník odvozený z je vždy izomorfní k duální struktuře k , obě struktury jsou autoduální, a proto jsou navzájem izomorfní právě tehdy, když je sudé. $Q(4,q)$ $W(3,q)$ $q$

Neklasické příklady

Nechť O je hyperoval v s q rovným sudé mocnině prvočísla a vložení této projektivní (desarguesovské) roviny do . Nyní zvažte strukturu výskytu , ve které jsou všechny body body, na kterých neleží . Čáry této struktury jsou body, které neleží v bodě O a protínají se v něm a dopad je definován přirozeným způsobem. Toto je (q-1,q+1) -zobecněný čtyřúhelník. $PG(2,q)$ $\pi$ $PG(3,q)$ $T_{2}^{*}(O)$ $\pi$ $\pi$ $\pi$
Nechť q je mocnina prvočísla (lichého nebo sudého). Zvažte symplektickou polaritu v . Zvolíme náhodný bod p a určíme . Nechť přímky naší incidenční struktury jsou všechny absolutní přímky [3] , které neleží v , spolu se všemi přímkami procházejícími bodem p , ale neležícími na , a body — všechny body neležícími na . Vztah výskytu bude přirozený výskyt. Dostali jsme opět (q-1,q+1) -zobecněný čtyřúhelník. $\theta$ $PG(3,q)$ $\pi =p^{\theta }$ $\pi$ $\pi$ $PG(3,q)$ $\pi$

Omezení parametrů

Pro svazy a duální svazy pro libovolné celé číslo z , z ≥ 1 existují zobecněné čtyřúhelníky s parametry (1, z ) a ( z ,1). Kromě tohoto případu jsou přípustné pouze následující parametry (zde q je libovolná mocnina prvočísla ):

(q,q)

(q,q^{2})

(q^{2},q)

(q^{2},q^{3})

(q^{3},q^{2})

(q-1,q+1)

(q+1,q-1)

Poznámky

↑ Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976 , str. 305-327.
↑ Prohlížeč .
↑ Nechť je prostor vybaven polaritou (mapování bodů na čáry řádu dva se zachováním incidence). V tomto případě může bod ležet na svém obrázku (na čáře), ale není to nutné. Bod je absolutní, pokud leží na svém obrazu, a přímka je absolutní, pokud prochází jeho obrazem (bodem).

Literatura

Payne SE, Thas JA Konečné zobecněné čtyřúhelníky . - Boston, MA: Pitman (Advanced Publishing Program), 1984. - V. 110. - P. vi+312. — (Výzkumné poznámky v matematice). - ISBN 0-273-08655-3 .
- Payne SE, Thas JA Konečné zobecněné čtyřúhelníky. - European Mathematical Society, 2009. - (EMS řada přednášek z matematiky). - ISBN 978-3-03719-066-1 .

Cameron PJ, Goethals JM, Seidel JJ, Shult EE Spojnicové grafy, kořenové systémy a eliptická geometrie // Journal of Algebra. - Academic Press, 1976. - V. 43 , no. 1 .
Brouwer A.E. Algebra a geometrie . – Kurz 2WF02 / 2WF05. (neurčitý)