Čebyševova alternace

Čebyševova alternace (nebo jednoduše alternace ) (z francouzského alternance - „alternace“) - v matematice taková množina bodů , ve které spojitá funkce jedné proměnné postupně nabývá maximální hodnoty v absolutní hodnotě, zatímco znaménka funkce na tyto body se střídají. $x_{1}<x_{2}<...<x_{N}$ $g(x)$ $g(x_{1}),$ $g(x_{2}),...,$ $g(x_{N})$

S takovou konstrukcí se poprvé setkala věta o charakterizaci nejlepšího aproximačního polynomu, kterou objevil P. L. Čebyšev v 19. století. Samotný termín alternance zavedl I.P. Natanson v 50. letech 20. století.

Čebyševova věta o alternaci

Aby byl polynom stupně polynomem nejlepší jednotné aproximace spojité funkce , je nutné a postačující , aby existoval alespoň v bodech , které $Q_{n}(x)$ $n$ $f(x)$ $[a,b]$ $n+2$ $x_{0}<...<x_{{n+1}}$

f(x_{i})-Q_{n}(x_{i})=\alpha (-1)^{i}||f-Q_{n}||

kde současně pro všechny . $i=0,...,n+1,\alpha =\pm 1$ $i$

Body , které splňují podmínky věty, se nazývají body Čebyševovy alternace. $x_{0}<...<x_{{n+1}}$

Příklad aproximace funkce

Předpokládejme, že je nutné aproximovat funkci druhé odmocniny pomocí lineární funkce (polynomu prvního stupně) na intervalu (1, 64). Z podmínek věty potřebujeme najít (v posuzovaném případě - 3) body Čebyševovy alternace. Proto, kvůli konvexnosti rozdílu mezi druhou odmocninou a lineární funkcí, jsou takové body jediným krajním bodem tohoto rozdílu a konci intervalu, na kterém je funkce aproximována. Označme . - extrémní bod. Pak platí následující rovnice: $n+2$ $a = 1, b = 64$ $d$