Lefschetzovo číslo

Lefschetzovo číslo
Pojmenoval podle	Solomon Lefschetz
Kdo dokázal	Solomon Lefschetz

Lefschetzovo číslo je určitá celočíselná charakteristika mapování topologického prostoru do sebe.

Definice

Dovolit být topologický prostor, být spojitá mapa a být homologní skupiny s koeficienty v poli . Nechť je stopou lineární transformace $X$ $f:X\to X$ $H_{*}(X, k)$ $X$ $k$ $t_{n}$

f_{*}:H_{n}(X,k)\to H_{n}(X,k)

Podle definice je Lefschetzovo číslo zobrazení $F$

{\displaystyle \Lambda (f,X)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n))

Vlastnosti

Lefschetzovo číslo je definováno, pokud je celkové pořadí skupin konečné, a v tomto případě nezávisí na volbě . $H_{*}(X, k)$ $k$

Lefschetzovo číslo mapování identity se rovná Eulerově charakteristice . $X$

Lefschetzův vzorec

Nechť je spojený orientovatelný -rozměrný kompaktní topologický různý nebo -rozměrný komplex konečných buněk , je spojité mapování. $X$ $n$ $n$ $f:X\to X$

Předpokládejme, že všechny pevné body mapování jsou izolované. $f:X\to X$

Pro každý pevný bod označujeme jeho Kroneckerův index (místní stupeň zobrazení v okolí bodu ). Pak má Lefschetzův vzorec pro a tvar $x\in X$ $i(x)$ $F$ $X$ $X$ $F$

\sum _{{\{x|f(x)=x\}}}i(x)=\Lambda (f,X).

Konkrétně, pokud zobrazení komplexu konečných buněk nemá žádné pevné body, pak je jeho Lefschetzovo číslo rovno nule.

Historie

Tento vzorec poprvé stanovil Lefschetz pro konečnorozměrné orientovatelné topologické variety a později pro komplexy konečných buněk. Těmto Lefschetzovým dokumentům předcházel Brouwerův článek z roku 1911 o pevném bodu nepřetržitého mapování -rozměrné koule do sebe sama. $n$

Poznámky

V bibliografických katalozích	GND : 4501113-8