CW komplex

CW-komplex je typ topologického prostoru s dodatečnou strukturou (dělení buněk), který zavedl Whitehead pro uspokojení potřeb teorie homotopů . V ruské literatuře se také používají názvy buněčný prostor , buněčné dělení a buněčný komplex . Třída buněčných komplexů je širší než třída simpliciálních komplexů , ale zároveň si zachovává kombinatorickou povahu, která umožňuje efektivní výpočty.

Definice

Otevřená n -rozměrná buňka je topologický prostor homeomorphic k otevřené n - rozměrné kouli (zejména nulová-rozměrná buňka je singletonový prostor ). CW-komplex je Hausdorffův topologický prostor X reprezentovaný jako sjednocení otevřených buněk takovým způsobem, že pro každou otevřenou n -rozměrnou buňku existuje spojité zobrazení f z uzavřené n -rozměrné koule do X , jehož omezení na vnitřek míč je homeomorfismus této buňky ( charakteristické mapování ). V tomto případě se předpokládá, že jsou splněny dvě vlastnosti:

(C) Hranice každé buňky je obsažena ve spojení konečného počtu buněk menších rozměrů;
(W) Podmnožina X je uzavřena právě tehdy, když je uzavřen její průsečík s uzavřením každé buňky.

Označení C a W pocházejí z anglických slov closure-finiteness a slabá topologie . [1] [2]

Rozměr buněčného komplexu je definován jako horní hranice rozměrů jeho buněk. N-tá páteř buněčného komplexu je spojením všech jeho buněk, jejichž rozměr nepřesahuje n , standardní zápis n-té páteře buněčného komplexu X je X n nebo sk n X. Podmnožina buněčného komplexu se nazývá subkomplex , pokud je uzavřená a skládá se z celých buněk; Zejména jakákoliv kostra komplexu je jeho subkomplexem.

Jakýkoli CW komplex lze zkonstruovat indukčně pomocí následujícího postupu: [3]

začneme s diskrétní množinou , jejíž body jsou považovány za buňky s nulovou dimenzí; $X^{0}$
indukcí vytvoříme n - tý kostru z ( n − 1)-tého tak , že k němu přilepíme n -rozměrné buňky pomocí libovolných spojitých zobrazení . $\varphi _{\alpha }:S^{{n-1}}\to X^{{n-1}}.$ $X^n$ $X^{{n-1}}$ $D_{\alpha }$ $x\sim \varphi _{\alpha } (x),$ $x\in \partial D_{\alpha }.$
Indukční proces je možné v konečné fázi ukončit nastavením nebo v něm pokračovat neomezeně nastavením [4] . Topologie přímé limity se shoduje se slabou topologií: podmnožina je uzavřena právě tehdy, když se její průnik s každým $X=X^{n},$ $X=\varinjlim X_{i}$ $\varinjlim X_{i}$ $X_{i}.$

Příklady

Prostor je homotopicky ekvivalentní CW-komplexu (protože je kontrahovatelný ), ale není možné na něj zavést strukturu CW-komplexu (protože všechny CW-komplexy jsou lokálně kontrahovatelné ). $\{re^{{2\pi i\theta }}:0\leq r\leq 1,\theta \in {\mathbb Q}\}\subset {\mathbb C}$
Havajská náušnice je příkladem topologického prostoru, který není homotopicky ekvivalentní žádnému CW-komplexu.
Jakýkoli mnohostěn je přirozeně vybaven strukturou CW-komplexu a graf je vybaven jednorozměrným CW-komplexem.
N -rozměrná koule připouští buněčnou strukturu s jednou buňkou nulové dimenze a jednou n - rozměrnou buňkou (protože n -rozměrná koule je homeomorfní k podílovému prostoru n - rozměrné koule podél její hranice). Další buněčná přepážka využívá skutečnosti, že vložení „rovníku“ rozděluje kouli na dvě n -rozměrné buňky (horní a dolní hemisféru). Indukcí to umožňuje získat rozdělení buněk n - rozměrné koule se dvěma buňkami v každém rozměru od 0 do n a použití přímé limitní konstrukce umožňuje získat rozdělení buněk koule . $S^{{n-1}}\to S^{n}$ $S^{\infty }$
Reálný projektivní prostor připouští buněčnou strukturu s jednou buňkou v každé dimenzi as jednou buňkou v každé sudé dimenzi. ${\mathbb {RP}}^{n}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
Grassmannian umožňuje rozdělení do buněk nazývaných Schubertovy buňky .
Pro jakoukoli kompaktní hladkou varietu lze zkonstruovat CW-komplex, který je s ní homotopicky ekvivalentní (například pomocí Morseovy funkce ).

Buněčná homologie

Singulární homologie CW-komplexu lze vypočítat pomocí buněčných homologií , tj. homologií komplexu buněčného řetězce .

\cdots \to {H_{{n+1}}}(X^{{n+1}},X^{{n}})\to {H_{{n}}}(X^{{n} },X^{{n-1}})\to {H_{{n-1}}}(X^{{n-1}},X^{{n-2}})\to \cdots ,

kde je definováno jako prázdná množina. $X^{{-1}}$

Skupina je volnou abelovskou skupinou , jejíž generátory lze identifikovat s orientovanými n -rozměrnými buňkami CW-komplexu. Mapování hranic jsou konstruována následovně. Nechť je libovolná n - rozměrná buňka , omezení její charakteristické mapy na hranici a nechť je libovolná ( n − 1)-rozměrná buňka. Zvažte složení ${H_{{n}}}(X^{{n}},X^{{n-1}})$ $e_{{n}}^{{\alpha }}$ $X,$ $\chi _{{n}}^{{\alpha }}:\částečné e_{{n}}^({\alpha }}\cong S^{{n-1}}\to X^{{n- jeden}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}:S^{{n-1}}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\částečné e_{{n} }^{{\alpha }}\,{\stackrel {\chi _{{n}}^({\alpha }}}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}\,{\ stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }} \right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{{n-1)),

kde první mapování se ztotožňuje s mapováním - faktorizace a poslední mapování se ztotožňuje s použitím charakteristického mapování buňky . Pak mapa hranic $S^{{n-1}}$ $\částečné e_{n}^{\alpha },$ $q$ $X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }}\vpravo)$ $S^{{n-1}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

d_{{n}}:{H_{{n}}}(X_{{n}},X_{{n-1}})\to {H_{{n-1}}}(X_{{n- 1}}, X_{{n-2}})

daný vzorcem

{d_{{n}}}(e_{{n}}^({\alpha }})=\součet _{{\beta }}\deg \left(\chi _{{n}}^{{\ alfa \beta }}\right)e_{{n-1}}^{{\beta }},

kde je stupeň zobrazení a součet přebírá všechny ( n − 1)-rozměrné buňky . $\deg \left(\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}\right)$ $\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}$ $X$

Zejména, pokud v buněčném komplexu nejsou žádné dvě buňky, jejichž rozměry se liší o jednu, pak všechna mapování hranic zmizí a homologní skupiny jsou volné. Například pro sudé a nula pro liché. ${H_{{n))}({\mathbb {CP}}^{n},{\mathbb Z})={\mathbb Z}$ $n$

Vlastnosti

Homotopická kategorie CW-komplexů je podle některých odborníků nejlepší možností pro konstrukci homotopické teorie. [5] Jednou z "dobrých" vlastností CW-komplexů je Whiteheadův teorém ( slabá homotopická ekvivalence mezi CW-komplexy je homotopická ekvivalence). Pro jakýkoli topologický prostor existuje slabě homotopicky ekvivalentní CW-komplex. [6] Dalším užitečným výsledkem je, že reprezentovatelné funktory v homotopické kategorii CW-komplexů mají jednoduchou charakterizaci v kategoriálních termínech ( Brownova věta o reprezentovatelnosti ). Válec, kužel a nástavba nad CW-komplexem mají přirozenou buněčnou strukturu.

Na druhou stranu produkt CW-komplexů s přirozeným obkladem do buněk není vždy CW-komplex – topologie produktu se nemusí shodovat se slabou topologií, pokud oba komplexy nejsou lokálně kompaktní. Topologie produktu v kategorii kompaktně generovaných prostorů se však shoduje se slabou topologií a vždy definuje CW-komplex [7] . Prostor funkcí Hom ( X , Y ) s kompaktně otevřenou topologií obecně není CW-komplex, nicméně podle věty Johna Milnora [8] je homotopický ekvivalentní CW-komplexu za podmínky že X je kompaktní .

Krytí CW-komplexu X může být vybaveno strukturou CW-komplexu takovým způsobem, že jeho buňky jsou homeomorfně mapovány na buňky X .

Konečné CW-komplexy (komplexy s konečným počtem buněk) jsou kompaktní. Jakákoli kompaktní podmnožina CW komplexu je obsažena v konečném podkomplexu.

Poznámky

↑ Whitehead, 1949 , str. 214.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , str. 35.
↑ Hatcher, 2011 , str. čtrnáct.
↑ Viz článek přímý limit .
↑ Viz například D. O. Baladze . Rozdělení buněk - článek z matematické encyklopedie.
↑ Hatcher, 2011 , str. 445-446.
↑ Martin Arkowitz. Úvod do teorie homotopie . - Springer, 2011. - S. 302 . — ISBN 9781441973290 .
↑ Milnor, John. Na prostorech s homotopickým typem CW-komplexu // Trans. amer. Matematika. Soc.. - 1959. - T. 90 . — S. 272–280 .

Literatura

JHC Whitehead. kombinatorická homotopie. I. // Býk. amer. Matematika. Soc.. - 1949. - Sv. 55.—S. 213–245.
JHC Whitehead. kombinatorická homotopie. II. // Býk. amer. Matematika. Soc.. - 1949. - Sv. 55.—S. 453–496.
Hatcher, A. Algebraická topologie / Per. z angličtiny. V. V. Prásolová, ed. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - 688 s. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Kurz topologie homotopie. - M. : Nauka, 1989. - 528 s.