Vystavovatel Artin - Hasse

V matematice je Artin-Hasseův exponent , pojmenovaný po Emilu Artinovi a Helmutu Hasseovi , mocninnou řadou tvaru

E_p(x) = \exp\left(x + \frac{x^p}{p} + \frac{x^{p^2}}{p^2} + \frac{x^{p^3} }{p^3} +\cdots\right).

Motivace

Na rozdíl od obyčejného exponentu jsou koeficienty Artin-Hasseho exponentu p -celá čísla, jinými slovy, jejich jmenovatelé nejsou dělitelní p . To vyplývá z Dworkova lemmatu (Dwork), které říká, že mocninná řada f ( x ) = 1 + … s racionálními koeficienty má p -celočíselné koeficienty právě tehdy, když f ( x p )/ f ( x ) p ≡ 1 mod p .

Pomocí Möbiovy inverze lze přepsat jako nekonečný součin $E_p(x)$

E_{p}(x)=\prod _{(p,n)=1}(1-x^{n})^{-\mu (n)/n}.

Zde μ je Möbiova funkce .

Kombinační výklad

Artin-Hasseho exponent je generující funkce pravděpodobnosti, že náhodně vybraný prvek Sn ( symetrická skupina s n prvky) má řád mocniny p (toto číslo je označeno jako t n ):

E_p(x)=\sum_{n\ge 0} \frac{t_n}{n!}x^n

Všimněte si, že to poskytuje další důkaz p -integrity koeficientů, protože v konečné grupě s řádem dělitelným d je počet prvků s řádem dělitelným d také dělitelný d .

David Roberts ukázal přirozený kombinatorický vztah mezi Artin-Hasseovým exponentem a obyčejným exponentem ve světle ergodické teorie a dokázal, že Artin-Hasseův exponent je generující funkcí pravděpodobnosti unipotence prvku symetrické grupy v charakteristice p . Normální exponent udává pravděpodobnost, že prvek bude unipotentní ve stejné skupině v charakteristice 0.

Hypotézy

V kurzu PROMYS z roku 2002 Keith Conrad předpokládal, že koeficienty jsou rovnoměrně rozloženy v p-adických číslech vzhledem k normalizované Haarově míře, protože to je v souladu s jeho výpočty. Tato hypotéza zůstává otevřená. $E_{p} (x)$

Dinesh Thakur položil problém, zda je Artin-Hasseův exponent transcendentální přes . $\mathbb{F}_p[x]$

Nedefinované jsou také různé relativně jednoduché vlastnosti funkce, včetně otázky, zda platí funkční rovnost pravdivá pro obyčejný exponent . $E_p(a)^b=E_p(ab)$

Viz také

Witt vektor
Formální skupina

Odkazy

Alain M. Robert. Kurz p-adické analýzy. - New York, Berlin, Heidelberg: Springer, 2000. - T. 198. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98669-3 .
Koblitz N. p-adická čísla, p-adická analýza a zeta funkce. - Moskva: Mir, 1982.
Dinesh S. Thakur. Automatové metody v transcendenci.
Ivan B. Fesenko, Sergej V. Vostokov. Místní pole a jejich rozšíření // Second. - Providence, RI: American Mathematical Society , 2002. - svazek 121 . - ISBN 978-0-8218-3259-2 .