Excentricita

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Excentricita je číselná charakteristika kuželosečky , která ukazuje míru její odchylky od kružnice . Obvykle se označuje nebo . $E$ $\varepsilon$

Excentricita je neměnná pod rovinnými pohyby a podobnostními transformacemi .

Definice

Všechny nedegenerované kuželosečky, kromě kružnice , lze popsat následovně: vybereme bod a přímku v rovině a nastavíme reálné číslo ; pak těžiště bodů, pro které je poměr vzdáleností k bodu a k přímce roven , je kuželosečka; to znamená, že pokud existuje projekce na , pak $F$ $d$ $e>0$ $M$ $F$ $d$ $E$ $M'$ $M$ $d$

FM=e\cdot MM'

Toto číslo se nazývá excentricita kuželosečky. Excentricita kruhu je podle definice 0. $E$

Související definice

Bod se nazývá ohnisko kuželosečky. $F$
Přímka se nazývá přímka . $d$

Kuželosečka v polárních souřadnicích

Kuželosečka, jejíž jedno z ohnisek se nachází na pólu, je dána v polárních souřadnicích rovnicí:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

kde je excentricita a je další konstantní parametr (tzv. ohniskový parametr ). $E$ $\ell$

Je snadné ukázat, že tato rovnice je ekvivalentní definici uvedené výše. V podstatě ji lze použít jako alternativní definici výstřednosti, možná méně zásadní, ale vhodnou z analytického a aplikovaného hlediska; zejména jasně ukazuje roli excentricity v klasifikaci kuželoseček a určitým způsobem dále objasňuje její geometrický význam.

Vlastnosti

V závislosti na excentricitě to dopadne:
- když - hyperbola . Čím větší je excentricita hyperboly, tím více její dvě větve vypadají jako rovnoběžné přímky; $e>1$
- když - parabola ; $e=1$
- když - elipsa ; $0\leq e<1$
- pro kruh , . $e=0$

Excentricita elipsy a hyperboly je rovna poměru vzdálenosti od ohniska ke středu k hlavní poloose. Tato vlastnost je někdy brána jako definice excentricity. V dřívějších dobách (např. v roce 1787 [1] ) se nedělily hlavní poloosou - vzdálenost od ohniska ke středu se nazývala excentricita elipsy [2] .
Excentricitu elipsy lze také vyjádřit poměrem vedlejší ( ) a velké ( ) poloosy: $b$ $A$

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

Excentricitu hyperboly lze vyjádřit poměrem imaginární ( ) a skutečné ( ) poloosy: $b$ $A$

e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

Excentricita rovnostranné hyperboly, která je grafem nepřímé úměrnosti a je dána rovnicí , je rovna . $f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0$ ${\sqrt {2}}$

U elipsy ji lze také vyjádřit poměrem poloměrů peri- ( ) a apocentra ( ): ${\displaystyle r_{\mathrm {per} ))$ ${\displaystyle r_{\mathrm {ap} ))$

e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}

Viz také

Poznámky

↑ John Bonnycastle. Úvod do astronomie . - Londýn, 1787. - S. 90.
↑ Oxfordský anglický slovník . — 2. vyd. - Oxford: Oxford University Press , 1989. - Sv. V. - S. 50.

Literatura

Akopyan AV , Zaslavsky AA Geometrické vlastnosti křivek druhého řádu . — M.: MTsNMO , 2007. — 136 s.

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Britannica (online) plocha počítače
V bibliografických katalozích	GND : 4340863-1