Riemannova geometrie

Riemannova geometrie (také nazývaná eliptická geometrie ) je jednou z neeuklidovských geometrií konstantního zakřivení (ostatní jsou Lobachevského geometrie a sférická geometrie ). Je-li Euklidova geometrie realizována v prostoru s nulovou Gaussovou křivostí , Lobačevskij - se zápornou, pak je Riemannova geometrie realizována v prostoru s konstantní kladnou křivostí (ve dvourozměrném případě na projektivní rovině a lokálně na kouli ).

V Riemannově geometrii je přímka definována dvěma body, rovina třemi, dvě roviny se protínají podél přímky a tak dále, ale v Riemannově geometrii nejsou žádné rovnoběžné přímky. V Riemannově geometrii, stejně jako ve sférické geometrii, platí tvrzení: součet úhlů trojúhelníku je větší než dvě přímky, vzorec se odehrává kde je součet úhlů trojúhelníku, je poloměr koule na kterém je geometrie implementována. $\Sigma =\pi +{S}/{R^{2)),$ $\Sigma$ $R$

Riemannova dvourozměrná geometrie je podobná sférické geometrii , ale liší se v tom, že nějaké dvě "čáry" nemají dva, jako v kulovém, ale pouze jeden průsečík. Identifikací protilehlých bodů koule se získá projektivní rovina , jejíž geometrie splňuje axiomy Riemannovy geometrie.

Konkrétně uvažujme kouli se středem v bodě v trojrozměrném prostoru . Každý bod spolu se středem koule definuje nějakou přímku , tedy nějaký bod projektivní roviny . Juxtapozice definuje mapování , velké kružnice na (přímky ve sférické geometrii) jdou do přímých čar na projekční rovině , zatímco přesně dva body koule jdou do jednoho bodu: spolu s bodem a bodem, který je k němu diametrálně opačný (viz . postava). Euklidovské pohyby prostoru , které vezmou kouli do sebe, dávají některé určité transformace projektivní roviny , což jsou pohyby Riemannovy geometrie. V Riemannově geometrii se jakékoli přímky protínají, protože to platí pro projektivní rovinu, a proto v ní nejsou žádné rovnoběžné přímky. $S$ $Ó$ $E$ $A\in S$ $Ó$ $l\podmnožina E$ $A_{*}$ $\Pí$ $A\to A_{*}$ $S\to\Pi$ $S$ $\Pí$ $A_{*}\v \Pi$ $A\in S$ $A'\in S$ $E$ $S$ $\Pí$

Jeden z rozdílů mezi Riemannovou geometrií a euklidovskou geometrií a Lobačevského geometrií je ten, že v ní neexistuje žádný přirozený koncept „bod C leží mezi body A a B “ (tento koncept chybí také ve sférické geometrii). Ve skutečnosti je velký kruh na kouli zobrazen na přímce projektivní roviny a dva diametrálně opačné body koule a přecházejí do jednoho bodu . Podobně tečky jdou do jednoho bodu a tečky jdou do jednoho bodu . Se stejným důvodem tedy můžeme předpokládat, že bod leží mezi a a že neleží mezi nimi (viz obrázek). $\Pí$ $S$ $A$ $A'$ $A_{*}\v \Pi$ $B,B'$ $B_{*}\v \Pi$ $C,C'$ $C_{*}\v \Pi$ $C_{*}$ $A_{*}$ $B_{*}$

Literatura

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometrie. — M.: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Co je neeuklidovská geometrie. — M.: URSS, 2007.
Alekseevskii DV, Vinberg EB, Solodovnikov AS Geometrie prostorů konstantní křivosti. In: Itogi nauki i techhniki. Moderní problémy matematiky. základní směry. - M.: VINITI, 1988. - T. 29. - S. 1-146.
Berger M. Geometrie. / Per. z francouzštiny - M.: Mir, 1984. - Svazek II, část V: Vnitřní geometrie koule, hyperbolická geometrie, prostor koulí.
Efimov N. V. Vyšší geometrie. - 7. vyd. — M.: Fizmatlit , 2003. — 584 s. — ISBN 5-9221-0267-2 .
Klein F. Neeuklidovská geometrie. - Jakékoli vydání.
Stepanov N. N. Sférická trigonometrie. - L.-M., 1948.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. — M.: Fizmatlit, 2009.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 1025719271