Jádro (teorie kategorií)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. ledna 2018; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Jádro v teorii kategorií je kategorickým ekvivalentem jádra homomorfismu z obecné algebry ; intuitivně je jádro morfismu "nejobecnějším" morfismem , po kterém aplikace dává nulový morfismus . $f\dvojtečka X\to Y$ $k\colon K\to X$ $F$

Definice

Dovolit být kategorie s nulovým morfismem . Pak je jádro morfismu jeho ekvalizérem a nulovým morfismem . Konkrétněji platí, že platí následující obecná vlastnost : ${\mathcal C}$ $f\dvojtečka X\to Y$ $0\colon X\to Y$

Jádro je morfismus takový, že: $f\dvojtečka X\to Y$ $k\colon K\to X$

$f\circ k$ je nulový morfismus od do : $K$ $Y$
pro jakýkoli morfismus , který je null, existuje jedinečný morfismus takový, že : $k'\dvojtečka K'\to X$ $f\circ k'$ $u\colon K'\to K$ $k\circ u=k'$

Příklady

V mnoha kategoriích se tato definice jádra shoduje s obvyklou: pokud je homomorfismus skupin nebo modulů , pak jádro v kategorickém smyslu je vložením jádra v algebraickém smyslu do předobrazu. $f\dvojtečka X\to Y$

Nicméně v kategorii monoidů jsou jádra v kategorickém smyslu podobná jádrům skupin, takže definice jádra v teorii monoidů je mírně odlišná. Naopak v kategorii prstenů neexistují žádná jádra v kategorickém smyslu, protože neexistují žádné morfismy nula. Jádra monoidů a prstenců mohou být interpretována v teorii kategorií pomocí konceptu párů jader .

Propojení s jinými kategorickými pojmy

Pojem duální k jádru je cokernel , to znamená, že jádro morfismu je jeho cokernel v duální kategorii a naopak.

Každé jádro, stejně jako každý jiný ekvalizér , je monomorfismus . Naopak, monomorfismus je považován za normální , pokud je jádrem jiného morfismu. Kategorie se nazývá normální , pokud je každý monomorfismus v ní normální.

Zejména abelovské kategorie jsou normální. V této situaci se jádro kokernelu morfismu nazývá jeho obraz . Navíc je každý monomorfismus svým vlastním obrazem.

Literatura

McLane S. Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Paolo Aluffy. Algebra: Kapitola 0. - 2009. - (graduální studium matematiky). — ISBN 0-8218-4781-3 .