N-elipsa

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. května 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

N-elipsa je zobecněním elipsy , která má více než dvě ohniska. [1] N -elipsy se také nazývají multifokální elipsy , [2] polyelipsy [3] , k -elipsy , [4] Chirnhausovy elipsy . Poprvé taková čísla studoval James Maxwell v roce 1846. [5]

Nechť je v rovině dáno n bodů ( u i , v i ) ( ohnisek ), pak n -elipsa je těžiště bodů v rovině, pro které je součet vzdáleností k n ohniskům konstanta d . Ve formě vzorce se tento výrok zapisuje jako

\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{ 2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\vpravo\}.

1-elipsa je kruh , 2-elipsa je obyčejná elipsa. Obě tyto křivky jsou algebraické křivky stupně 2.

Pro libovolný počet n ohnisek je n -elipsa uzavřenou konvexní křivkou . [2] :(str. 90) Křivka je hladká mimo oblast ohniska. [4] : str.7

An n -elipsa je podmnožina bodů, které splňují určitou algebraickou rovnici . [4] : 2 a 4; p. 7 Je-li n liché, je algebraický stupeň křivky , je-li n sudé, je stupeň . [4] :(T. 1.1) $2^{n}$ $2^{n}-{\binom {n}{n/2))$

Poznámky

↑ J. Sekino (1999): „ n -Elipsy a problém minimální vzdálenosti“, American Mathematical Monthly 106 #3 (březen 1999), 193–202. MR : 1682340 ; .
↑ 1 2 Erdős, Paul; Vincze, Istvan On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Elipses (anglicky) // Journal of Applied Probability: journal. - 1982. - Sv. 19 . - str. 89-96 . — . Archivováno z originálu 28. září 2016.
↑ ZA Melzak a JS Forsyth (1977): "Polyconics 1. Polyelipses and optimization", Q. of Appl. Matematika. , strany 239–255, 1977.
↑ 1 2 3 4 J. Nie, P. Parrilo, B. Sturmfels: " J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Semidefinite Reprezentace k-elipsy", in Algorithms in Algebraic Geometry , IMA Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, s. 117-132 Archivováno 10. srpna 2017 na Wayback Machine
↑ James Clerk Maxwell (1846): " Paper on the Description of Oval Curves Archived 3. listopadu 2021 na Wayback Machine , únor 1846, z The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862

Literatura

P. L. Rosin: " O stavbě oválů "
B. Sturmfels: " Geometrie semidefinitního programování ", str. 9–16.