P-adické číslo

p -adické číslo [1] je číselně teoretický pojem definovaný pro dané pevné prvočíslo p jako prvek rozšíření oboru racionálních čísel . Toto rozšíření je dokončením oboru racionálních čísel s ohledem na p - adickou normu , definovanou na základě vlastností dělitelnosti celých čísel p .

P -adic čísla byla zavedena Kurtem Hanselem v roce 1897 [2] .

Pole p -adického čísla je obvykle označeno nebo . $\mathbb Q_p$ ${\mathbf Q}_{p}$

Algebraická konstrukce

Celá p -adická čísla

Standardní definice

Celé číslo p - adické pro dané prvočíslo p je [3] nekonečná posloupnost zbytků modulo , splňující podmínku: $x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}$ $x_{n}$ $p^{{n}}$

x_{n}\equiv x_{{n+1}}{\pmod {p^{n}}}.

Sčítání a násobení celých p -adických čísel je definováno jako termwise sčítání a násobení takových posloupností. U nich lze přímo ověřit všechny axiomy prstenu . Kruh celých p -adických čísel se obvykle označuje . $\mathbb {Z} _{p}$

Definice z hlediska projektivní limity

Z hlediska projektivních limitů je okruh celých čísel -adic definován jako limita $p$

\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}

reziduální kroužky modulo přirozené projekce . $\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$ $p^{n}$ $\mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$

Tyto úvahy lze provést nejen v případě prvočísla , ale i libovolného složeného čísla – získáte tzv. kruh -adic čísel, ale tento kruh na rozdíl od má nulové dělitele , takže další konstrukce uvažované níže na něj nejsou použitelné. $p$ $m$ $m$ $\mathbb {Z} _{p}$

Vlastnosti

Obyčejná celá čísla se vkládají zřejmým způsobem: a jsou podkruhem. $\mathbb {Z} _{p}$ $x=\{x,x,\ldots\}$

Vezmeme-li číslo jako prvek třídy zbytků (tedy ), můžeme zapsat každé celé číslo p -adické ve tvaru jedinečným způsobem. Taková reprezentace se nazývá kanonická . Zapsání každého v p -ární číselné soustavě a vzhledem k tomu , že je možné jakékoli p -adické číslo reprezentovat v kanonickém tvaru jako nebo zapsat jako nekonečnou posloupnost číslic v p -ární číselné soustavě . Operace s takovými posloupnostmi se provádějí podle obvyklých pravidel sčítání, odčítání a násobení pomocí „sloupce“ v p -ární číselné soustavě. $a_{n}=x_{n}\,{\bmod \,}{p^{n}}$ $0\leq a_{n}<p^{n}$ $x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}$ $a_n$ $a_{n}=b_{n}\ldots b_{2}b_{1}$ $a_{n}\equiv a_{{n+1}}{\pmod {p^{n}}}$ $x=\{b_{1},b_{2}b_{1},b_{3}b_{2}b_{1},\ldots \}$ $x=\{\ldots b_{n}\ldots b_{2}b_{1}\}$

V tomto zápisu přirozená čísla a nula odpovídají p -adickým číslům s konečným počtem nenulových číslic, které se shodují s číslicemi původního čísla. Záporná čísla odpovídají p -adickým číslům s nekonečným počtem nenulových číslic, například v quinární soustavě −1=…4444=(4).

p -adická čísla

Definice jako soukromá pole

P -adické číslo je prvkem tělesa podílů okruhu celých p -adických čísel. Toto pole se nazývá pole p -adických čísel. ${\mathbb {Q}}_{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$

Vlastnosti

Obor p -adických čísel obsahuje obor racionálních čísel .

Je snadné dokázat, že jakékoli p -adické celé číslo, které není násobkem p , je v kruhu invertibilní a násobek p je jednoznačně zapsán jako , kde x není násobkem p , a proto je invertibilní, ale . Proto lze libovolný nenulový prvek pole zapsat jako , kde x není násobek p , ale libovolné n ; je -li n záporné, pak na základě reprezentace celých p -adických čísel jako posloupnosti číslic v p -árním číselném systému můžeme takové p -adické číslo zapsat jako posloupnost , to znamená, že je formálně reprezentovat jako p - ary zlomek s konečným počtem číslic za desetinnou čárkou a případně nekonečným počtem nenulových číslic před desetinnou čárkou. Dělení takových čísel lze také provést podobně jako u „školního“ pravidla, ale začíná se spíše nižšími než vyššími číslicemi čísla. $\mathbb {Z} _{p}$ $xp^{n}$ $n>0$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $xp^{n}$ $x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{2}b_{1},b_{0}b_{{-1}}\ldots b_{{n+1}}\}$

Metrická konstrukce

Jakékoli racionální číslo může být reprezentováno jako kde a jsou celá čísla, která nejsou dělitelná , ale je to celé číslo. Potom je norma -adic definována jako . Pokud , tak . $r$ $r=p^{n}{\frac ab}$ $A$ $b$ $p$ $n$ $|r|_{p}$ $p$ $r$ $p^{{-n}}$ $r=0$ $|r|_{p}=0$

Obor -adic čísel je doplnění oboru racionálních čísel o metriku definovanou normou -adic: . Tato konstrukce je podobná konstrukci tělesa reálných čísel jako doplnění tělesa racionálních čísel pomocí normy, což je obvyklá absolutní hodnota . $p$ $d_{p}$ $p$ $d_{p}(x,y)=|xy|_{p}$

Norma se návazností rozšiřuje na normu na . $|r|_{p}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$

Vlastnosti

Každý prvek x pole p -adických čísel může být reprezentován jako konvergentní řada

x=\sum _{{i=n_{0}}}^{\infty }a_{i}p^{i}

kde je nějaké celé číslo a jsou nezáporná celá čísla nepřesahující . Totiž číslice ze záznamu x v číselné soustavě se základem p fungují jako zde . Takový součet vždy konverguje v metrice k sobě samému .

n_{0}

a_{i}

p-1

a_{i}

d_{p}

X

p -adická norma splňuje silnou trojúhelníkovou nerovnost $|x|_{p}$

|xz|_{p}\leq \max\{|xy|_{p},|yz|_{p}\}.

Čísla s podmínkou tvoří kruh celých p -adických čísel, což je doplnění kruhu celých čísel v normě . $x\in {\mathbb Q}_{p}$ $|x|_{p}\leq 1$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ $|x|_{p}$
Čísla s podmínkou tvoří multiplikativní grupu a nazývají se p - adické jednotky. $x\in \mathbb {Q} _{p}$ $|x|_{p}=1$
Množina čísel s podmínkou je hlavním ideálem s generujícím prvkem p . $x\in \mathbb {Q} _{p}$ $|x|_{p}<1$ $\mathbb {Z} _{p}$

Metrický prostor je homeomorfní pro Cantorovu množinu a prostor je homeomorfní pro Cantorovu vystřiženou množinu. $(\mathbb {Z} _{p},d_{p})$ $(\mathbb {Q} _{p},d_{p})$
Pro různé p jsou normy nezávislé a pole nejsou izomorfní. $|x|_{p}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$
Pro libovolné prvky , , , , , … jako a , lze najít posloupnost racionálních čísel taková, že a pro libovolné p . $r_{\infty }$ $r_{2}$ $r_3$ $r_{5}$ $r_{7}$ $r_{\infty }\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle r_{p}\in \mathbb {Q} _{p))$ $x_{n}$ $|x_{i}-r_{p}|_{p}\na 0$ $|x_{i}-r_{\infty }|\na 0$

Aplikace

Jestliže je polynom s celočíselnými koeficienty, pak řešitelnost pro všechna srovnání $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $k$

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

je ekvivalentní řešitelnosti rovnice

F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=0

v celých -adických číslech. Nezbytnou podmínkou řešitelnosti této rovnice v celých nebo racionálních číslech je její řešitelnost v kruzích, respektive v oborech -adických čísel pro všechna , stejně jako v oboru reálných čísel. Pro některé třídy polynomů (například pro kvadratické formy) je tato podmínka také dostačující.

p

p

p

V praxi pro kontrolu řešitelnosti rovnice v celočíselných -adických číslech stačí ověřit řešitelnost uvedeného srovnání pro určitý konečný počet hodnot . Například podle Hanselova lemmatu , je- li dostatečnou podmínkou pro rozhodnutelnost srovnání pro všechna přirozená čísla přítomnost jednoduchého řešení pro srovnání modulo (tedy jednoduchého kořene pro odpovídající rovnici v oboru reziduí modulo ) . Jinými slovy, pro kontrolu, zda má rovnice kořen v celých -adických číslech, obvykle stačí vyřešit odpovídající srovnání pro .

p

k

n=1

k

p

p

n=1

p

k=1

$p$ -adic čísla jsou široce používána v teoretické fyzice [4] . Známé jsou -adické zobecněné funkce [5] , p-adický analog derivačního operátoru (Vladimirov operátor) [6] , p-adická kvantová mechanika [7] [8] , p-adická spektrální teorie [9] , p-adický řetězec teorie [10] [11] $p$

Viz také

Poznámky

↑ Vyslov: pa-adic ; respektive: dvouadický , triadický atd.
↑ Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . - 1897. - V. 6 , č. 3 . - S. 83-88 . (Němec)
↑ Borevich Z. I., Shafarevich I. R. Teorie čísel, 1985 , s. 25-28..
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV, Zelenov EI P-adická analýza a matematická fyzika // Singapure: World Sci., 1993
↑ Vladimirov V. S. „Zobecněné funkce přes pole p-adických čísel“ // Uspekhi Mat . Nauk , 1988, sv. 43 (5), s. 17-53
↑ Vladimirov V.S. O spektrálních vlastnostech p-adických pseudodiferenciálních operátorů Schrödingerova typu // Izv. RAS, Ser. mat., 1992, v. 56, str. 770-789
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV P-adická kvantová mechanika // Commun. Matematika. Phys., 1989, sv. 123, str. 659-676
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV P-adická rovnice Schrodingerova typu // Lett. Matematika. Phys., 1989, sv. 18, str. 43-53
↑ Vladimirov V.S. , Volovich I.V., Zelenov E.I. Spektrální teorie v p-adické kvantové mechanice a teorie reprezentace // Izv. Akademie věd SSSR, svazek 54 (2), str. 275-302, (1990)
↑ Volovich IV P-adic string // Class. kvant. Grav., 1987, roč. 4, P.L83-L84
↑ Frampton PH Retrospektiva p-adické teorie strun // Sborník Matematického ústavu Steklov. Sbírka, č. 203 - M .: Nauka, 1994. - isbn 5-02-007023-8 - S. 287-291.

Literatura

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Teorie čísel. — M .: Nauka, 1985.
Koblitz N. p-adická čísla, p-adická analýza a zeta funkce, - M .: Mir, 1982.
Serre J.-P. Kurz aritmetiky, - M .: Mir, 1972.
Bekker B., Vostokov S., Ionin Yu. 2-adic čísla // Kvant . - 1979. - č. 2 . - S. 26-31 .
Konrad K. Úvod do p-adických čísel Letní škola "Moderní matematika", 2014 Dubna

Numerické soustavy
Počitatelné sady	Přirozená čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ celá čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ racionální ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraické ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Období Vypočitatelný Aritmetický
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplexní ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ čtveřice ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyova čísla (oktávy, osminky) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternions Dvojí Hyperkomplex Superreálné Hypermateriál nadreálný
Nástroje pro numerické rozšíření	Cayley-Dixonův postup Frobeniova věta Hurwitzova věta
Jiné číselné soustavy	kardinální čísla Řadové číslovky (překonané, řadové) p-adic Nadpřirozená čísla intervalová čísla
viz také	dvojitá čísla Iracionální čísla transcendentální čísla číselný paprsek Biquaternion