Axiom počitatelného výběru

Axiom spočetného výběru je axiom teorie množin , obvykle označovaný Axiom říká, že pro jakoukoli spočetnou rodinu neprázdných množin existuje „ funkce výběru “, která extrahuje z každé množiny jeden a pouze jeden z jejích prvků. Jinými slovy, pro posloupnost neprázdných množin , lze sestrojit posloupnost jejich zástupců , zatímco množiny mohou být nekonečné a dokonce nepočitatelné [1] . $\mathbf {AC} _{\omega }.$ $S_{1},S_{2},S_{3}\dots$ $x_{1},x_{2},x_{3}\dots$ $S_{i}$

Místo axiomu v matematice

Axiom spočetné volby je omezenou verzí plného axiomu volby ( ), na rozdíl od posledně jmenovaného tvrdí existenci funkce volby pouze pro spočetnou rodinu množin. Jak dokázal Paul Cohen , axiom spočetné volby je nezávislý na ostatních axiomech teorie množin (bez axiomu volby) [2] . Na rozdíl od plného axiomu volby nevede axiom počitatelné volby k paradoxu zdvojnásobení míče nebo jiným kontraintuitivním důsledkům. ${\displaystyle \mathbf {AC} _{\omega ))$ $\mathbf {AC}$

Axiom spočetného výběru je dostatečný k ospravedlnění hlavních teorémů analýzy . Z toho vyplývá zejména [3] :

pro jakýkoli limitní bod existuje posloupnost, která se k němu sbíhá;
Lebesgueova míra je spočetně aditivní;
každá nekonečná množina obsahuje spočetnou podmnožinu.

Značnou část tvrzení teorie množin však nelze dokázat pomocí axiomu spočetného výběru. Například k prokázání, že každá sada může být dobře uspořádána , je vyžadován úplný axiom výběru.

Existuje o něco silnější verze nazvaná " axiom závislé volby " ( ). Z ní vyplývá axiom počitatelné volby, stejně jako z axiomu determinismu ( ). $\mathbf {AC} _{\omega },$ $\mathbf {DC}$ $\mathbf {AD}$

Literatura

Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. — M .: Nauka, 1977. — 368 s. — Kapitola 3, § 4.
Kanovey VG Axiom volby a axiom determinismu. — M .: Nauka, 1984. — 64 s. — (Problémy vědy a technického pokroku).
Medveděv F. A. Raná historie axiomu volby . — M .: Nauka, 1982. — 304 s. Archivováno 28. října 2015 na Wayback Machine
Medveděv F. A. Axiom volby a matematická analýza // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1980. - č. 25 . — S. 167-188 .
Referenční kniha o matematické logice. Část II. Teorie množin = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 s.
Herrlich, Horst. Principy výběru v elementární topologii a analýze (anglicky) // Comment.Math.Univ.Carolinae. - 1997. - Sv. 38, č.p. 3 . — S. 545.
Pottere, Michaele. Teorie množin a její filozofie: Kritický úvod . - Oxford University Press, 2004. - ISBN 9780191556432 . (Angličtina)

Poznámky

↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 9.
↑ Potter, 2004 , str. 164.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 6, 9.