Axiom volby

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. srpna 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Axiom volby , eng. zkr. AC (z axiomu výběru ) je následující výrok z teorie množin :

Pro každou rodinu [1] neprázdných množin existuje funkce , která s každou množinou rodiny přiřadí jeden z prvků této množiny [2] . Funkce se nazývá výběrová funkce pro danou rodinu. $X$ $F$ $F$

Ve formálním jazyce :

\forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\ ,.

Pokud se omezíme na uvažování pouze o konečných rodinách množin, pak lze tvrzení o axiomu volby dokázat na základě jiných axiomů teorie množin [2] a není třeba jej postulovat jako samostatný axiom. Lze to dokázat i pro některé nekonečné rodiny, ale v obecném případě pro nekonečné rodiny axiom volby nevyplývá z jiných axiomů a je nezávislým tvrzením.

Historie a hodnocení

Axiom výběru formuloval a publikoval Ernst Zermelo v roce 1904 (ačkoli ho Beppo Levi poprvé zaznamenal o 2 roky dříve). Nový axiom vyvolal bouřlivý spor a stále ho ne všichni matematici bezpodmínečně přijímají [3] . Byly vysloveny názory, že důkazy získané s jeho zapojením mají „jinou kognitivní hodnotu“ než důkazy, které na nich nezávisí [3] [4] . Objevení se axiomu výběru také vyvolalo diskusi o tom, co v matematice znamená pojem „existence“ – konkrétně o tom, zda lze množinu považovat za existující, pokud není znám žádný z jejích prvků [5] .

Odmítnutí axiomu volby některými matematiky je ospravedlněno především tím, že pouze tvrdí existenci množiny , ale nedává žádný způsob, jak ji definovat; takový názor vyjádřili např. Borel a Lebesgue [4] . Opačný názor zastávali například Hilbert , Hausdorff a Frenkel , kteří bez výhrad přijali axiom volby , uznali pro něj stejnou míru „samozřejmosti“ jako pro ostatní axiomy teorie množin : axiom objemu , tzv. axiom existence prázdné množiny , axiom páru , axiom součty , axiom stupně , axiom nekonečna . $d$

Navíc mezi důsledky axiomu volby je mnoho spíše paradoxních, které vyvolávají intuitivní protest ze strany matematiků. Například, to stane se možné dokázat paradox zdvojnásobení míče , který může stěží být považován za “zřejmý” všemi výzkumníky (vidět také Tarski je kvadratura kruhu ). Podrobnou analýzu četných důkazů pomocí axiomu výběru provedl Václav Sierpinski . Bez axiomu volby by však bezesporu nemohlo být učiněno mnoho důležitých matematických objevů [6] .

Bertrand Russell komentoval axiom volby: „Zpočátku se to zdá zřejmé; ale čím více o tom přemýšlíte, tím podivnější se zdají závěry z tohoto axiomu; nakonec obecně přestanete chápat, co to znamená“ [7] .

Nezávislost axiomu výběru na zbytku Zermelo-Fraenkelových axiomů dokázal Paul Cohen [8] [9] .

Ekvivalentní formulace

Existuje mnoho dalších ekvivalentních formulací axiomu výběru.

Kartézský součin rodiny neprázdných množin je neprázdný [10] .
Každá surjektivní funkce má pravou inverzní funkci , to znamená, že jejich složení je identickou funkcí na nebo jinými slovy pro všechny prvky . $f\colon A\to B$ $f^{-1}\dvojtečka B\to A$ $f\circ f^{{-1}}=\jméno operátora {id}_{B}$ $B$ $f(f^{{-1}}(z))=z$ $z\in B$
Zornovo lemma (viz níže)
Každou množinu lze dobře uspořádat (viz níže, Zermelova věta ).
Hausdorffův princip maxima
Tarského věta . Pro každounekonečnou množinu existujebijekce. $A$ $A\to A\times A$

Funkce volby je funkce na množině množin tak, že pro každou množinu v , je prvek z . Pomocí pojmu funkce volby axiom říká: $X$ $s$ $X$ $f(s)$ $s$

Pro jakoukoli rodinu neprázdných množin existuje funkce volby definovaná na $X$ $F$ $X$ .

Nebo nejstručněji:

Každá sada neprázdných sad má funkci volby .

Druhá verze axiomu volby říká:

Pro danou libovolnou množinu párově disjunktních neprázdných množin existuje alespoň jedna množina, která obsahuje právě jeden prvek společný každé z neprázdných množin .

Někteří autoři používají jinou verzi, která efektivně říká:

Pro libovolnou množinu má její Boolean mínus prázdná podmnožina funkci volby

A

{\mathcal P}(A)\setminus \{\varnothing \}

Autoři, kteří tuto formulaci používají, často mluví také o "funkci volby zapnuto ", ale uvádějí, že mají na mysli poněkud odlišné pojetí funkce volby. Její rozsah je booleovský (minus prázdná podmnožina), zatímco jinde v tomto článku je rozsah funkce výběru „množina množin“. S tímto dodatečným pojmem funkce volby lze axiom volby stručně vyjádřit takto: $A$

Každá sada má funkci volby .

Aplikace

Až do konce 19. století se bezpodmínečně používal axiom volby. Například po definování množiny obsahující neprázdnou množinu by matematik mohl říci: „ Nechť být definován pro každou z “. Bez axiomu výběru je obecně nemožné dokázat, že existuje, ale zdá se, že to zůstalo neřešené až do Zermela . $X$ $F(s)$ $s$ $X$ $F$

Ne všechny případy vyžadují axiom volby. Pro konečnou množinu vyplývá axiom výběru z jiných axiomů teorie množin. V tomto případě je to stejné, jako kdybychom řekli, že pokud máme několik (konečných) krabic, z nichž každá obsahuje jednu identickou věc, pak si můžeme z každé krabice vybrat právě jednu věc. Je jasné, že to dokážeme: začneme s první krabicí, vybereme věc; pojďme do druhé krabice, vybereme věc; atd. Vzhledem k tomu, že existuje konečný počet políček, dojdeme na základě našeho výběrového řízení na konec. Výsledkem je explicitní výběrová funkce: funkce, která mapuje první políčko na první prvek, který jsme vybrali, druhý rámeček na druhý prvek atd. (Pro formální důkaz pro všechny konečné množiny použijte princip matematického indukce .) $X$

V případě nekonečné množiny je také někdy možné obejít axiom výběru. Například, pokud jsou prvky množiny přirozených čísel . Každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek, takže při definování naší výběrové funkce můžeme jednoduše říci, že každá množina je spojena s nejmenším prvkem množiny. To nám umožňuje vybrat prvek z každé sady, takže můžeme napsat explicitní výraz, který nám říká, jakou hodnotu má naše výběrová funkce. Pokud je možné definovat funkci volby tímto způsobem, není axiom volby nutný. $X$ $X$

Potíže nastávají, pokud není možné provést přirozený výběr prvků z každé sady. Pokud nemůžeme učinit explicitní volbu, proč jsme si jisti, že taková volba může být v zásadě provedena? Nechť je například množina neprázdných podmnožin reálných čísel . Nejprve bychom se mohli pokusit jednat, jako by to bylo konečné. Pokud se pokusíme vybrat prvek z každé množiny, pak, protože je nekonečná, naše výběrová procedura nikdy neskončí a v důsledku toho nikdy nezískáme výběrové funkce pro všechny . Takže to nejde. Dále se můžeme pokusit určit nejmenší prvek z každé množiny. Ale některé podmnožiny reálných čísel neobsahují nejmenší prvek. Takovou podmnožinou je například otevřený interval . Pokud patří k , pak k ní také patří a méně než . Takže ani výběr nejmenšího prvku nefunguje. $X$ $X$ $X$ $X$ $(0,\;1)$ $X$ $(0,\;1)$ $x/2$ $X$

Důvodem, který nám umožňuje vybrat nejmenší prvek z podmnožiny přirozených čísel, je skutečnost, že přirozená čísla mají vlastnost dobře uspořádaná. Každá podmnožina přirozených čísel má jedinečný nejmenší prvek kvůli přirozenému uspořádání. Možná, kdybychom byli chytřejší, mohli bychom říci: „Možná, když nám obvyklé pořadí pro reálná čísla neumožňuje najít v každé podmnožině zvláštní (nejmenší) číslo, mohli bychom zavést jiný řád, který by dal vlastnost dobře- objednávání. Pak bude naše funkce schopna vybrat nejmenší prvek z každé sady díky našemu neobvyklému řazení. Problém pak nastává v této konstrukci dobře uspořádanosti, která pro své řešení vyžaduje přítomnost axiomu volby. Jinými slovy, každá množina může být dobře uspořádána tehdy a pouze tehdy, když je axiom výběru pravdivý.

Důkazy, které vyžadují axiom výběru, jsou vždy nekonstruktivní: i když důkaz vytváří objekt, je nemožné říci, co přesně tento objekt je. Ačkoli nám tedy axiom výběru umožňuje kompletně uspořádat množinu reálných čísel, nedává nám to žádnou viditelnost a konstruktivismus obecně. To je jeden z důvodů, proč někteří matematici nemají rádi axiom výběru (viz také Krize v základech matematiky ). Například konstruktivismus vyžaduje, aby bylo možné postavit vše, co existuje. Odmítají axiom volby, protože uvádí existenci objektu bez jeho jasného popisu. Na druhou stranu, pokud je axiom volby použit k prokázání existence, pak to neznamená, že nemůžeme konstrukci dokončit jiným způsobem.

Princip dobrého uspořádání (Zermelova věta)

Velmi běžná a pohodlná formulace používá pojem dobře uspořádané sady . Budeme potřebovat několik definic a začneme přísnou definicí lineárního řádu, vyjadřující známou myšlenku v jazyce teorie množin. Připomeňme, že se označuje uspořádaná dvojice prvků a že kartézský součin množin se skládá ze všech možných uspořádaných dvojic , kde . $(x,\;y)$ $X\krát Y$ $(x,\;y)$ $x\v X,\;y\v Y$

Lineární řád na množině je podmnožinou kartézského součinu , který má následující vlastnosti: $A$ $R\subseteq A\times A$

Plné: . $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\lor (y,\;x)\in R)$
Antisymetrické: . $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;x)\in R\to y=x)$
Tranzitivní: . $\forall x,\;y,\;z\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;z)\in R\to (x,\;z)\in R)$

Úplné pořadí na množině je lineární pořadí , takže každá neprázdná podmnožina má nejmenší prvek. $A$ $X\subseteq A$

Princip totální objednávky spočívá v tom, že každá sada může být dobře objednána .

Například množinu přirozených čísel lze dobře uspořádat podle obvyklého vztahu „menší nebo rovno“. Se stejným vztahem nemá množina celých čísel nejmenší prvek. V tomto případě můžeme shromáždit celá čísla v sekvenci a říci, že nižší členy jsou menší než vyšší. Je zřejmé, že takový vztah bude úplným pořadím na celých číslech. $(0,\;-1,\;1,\;-2,\;2,\;\ldots ,\;-n,\;n,\;\ldots )$

Mnohem méně zřejmé je, že reálná čísla tvořící nepočitatelnou množinu lze dobře uspořádat.

Zornovo lemma

Pokud má v částečně uspořádané množině jakýkoli řetězec (tj. lineárně uspořádaná podmnožina ) horní hranici, pak má celá množina alespoň jeden maximální prvek.

Formálněji:

Nechť je částečně uspořádaná množina , to znamená, že relace je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní: $(P,\;\leqslant )$ $\leqslant$

$\forall x\in P\quad x\leqslant x;$
$\forall x,\;y\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant x\to x=y;$
$\forall x,\;y,\;z\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant z\to x\leqslant z.$

Podmnožina se nazývá lineárně uspořádaná if . Prvek se nazývá horní mez if . $S\podmnožina P$ $\forall x,\;y\in S\;x\leqslant y\lor y\leqslant x$ $u\v P$ $\forall x\in S\;x\leqslant u$

Předpokládejme, že jakákoli lineárně uspořádaná podmnožina množiny má horní mez. Pak , to je, je maximální prvek . $P$ $\existuje m\v P\;\nexistuje x\v P\;x>m$ $m$

Hausdorffův princip maxima

Alternativy

Pokud omezíme aplikaci axiomu výběru pouze na konečné a spočetné rodiny množin, dostaneme " axiom spočetné volby ". Je zcela dostačující pro zdůvodnění většiny teorémů analýzy a nevytváří výše uvedené paradoxy. K doložení mnoha ustanovení teorie množin to však nestačí. Další, poněkud silnější možností je axiom závislé volby , ale pro potřeby teorie množin se nehodí.

V roce 1962 navrhli polští matematici Jan Mychelski a Hugo Steinhaus místo axiomu volby takzvaný „ Axiom determinace “ [11] . Na rozdíl od axiomu volby, který má intuitivní formulaci a kontraintuitivní důsledky, axiom determinismu má naopak nejasnou formulaci, ale jeho důsledky jsou mnohem lépe v souladu s intuicí . Z axiomu determinismu vyplývá axiom počitatelné volby, nikoli však úplný axiom volby [9] .

Důsledky axiomu determinovanosti v řadě situací odporují důsledkům axiomu volby – například z axiomu determinovanosti vyplývá, že všechny množiny reálných čísel jsou Lebesgueově měřitelné , zatímco axiom volby implikuje existenci množina reálných čísel, která není Lebesgueova měřitelná. Pomocí axiomu determinismu lze důsledně dokázat, že mezi spočetnou mocninou a mocninou kontinua neexistují žádné mezilehlé mocniny , přičemž toto tvrzení je nezávislé na axiomu volby [12] .

Viz také

Axiomatika teorie množin

Poznámky

↑ Rodina v matematice je množina množin.
↑ 1 2 Choice axiom // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Kuratovský K. , Mostovský A. Teorie množin / Z angličtiny přeložil M. I. Krátce upravil A. D. Taimanov. - M .: Mir, 1970. - S. 61 . — 416 s.
↑ 12 John L. Bell . Axiom volby . Stanfordská encyklopedie filozofie . Získáno 17. března 2020. Archivováno z originálu dne 14. března 2020. (neurčitý)
↑ Parta, Bryan. Matematické bludy a paradoxy. Kapitola "Axiom volby" . - Dover Publications, 1997. - 240 s. — (Doverské knihy o matematice). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Prvky: Meze prokazatelnosti . Získáno 12. září 2009. Archivováno z originálu 11. ledna 2012. (neurčitý)
↑ Vilenkin N. Ya. Příběhy o souborech. - 3. vyd. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 95. - 150 s. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ P. J. Cohen. Teorie množin a hypotéza kontinua. - Moskva: Mir, 1969.
↑ 1 2 Kazimirov N. I. Úvod do axiomatické teorie množin. Tutorial. - Petrozavodsk, 2000. - 104 s. — § 2.4.
↑ Jevgenij Vechtomov. Matematika: Základní matematické struktury 2. vyd. Studijní příručka pro akademické bakalářské studium . - Litry, 2018. - S. 26. - 297 s. Archivováno 18. srpna 2018 na Wayback Machine
↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H. (1962). Matematický axiom odporující axiomu výběru. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mahematiques, Astronomiques et Physiques 10:1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 4, 37.

Literatura

Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie . — M .: Nauka, 1977. — 368 s. (nedostupný odkaz) - Kapitola 3, § 4.
Kanovey VG Axiom volby a axiom determinismu. — M .: Nauka, 1984. — 64 s. — (Problémy vědy a technického pokroku).
Medveděv F. A. Raná historie axiomu volby . — M .: Nauka, 1982. — 304 s. Archivováno 28. října 2015 na Wayback Machine
Medveděv F. A. Axiom volby a matematická analýza // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1980. - č. 25 . — S. 167-188 .
Referenční kniha o matematické logice. Část II. Teorie množin = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 s.